Question

Hola , tengo una pregunta sobre parábola de Geometría , el problema dice así : La entrada de un edificio tiene la forma de un arco parabólico y mide 9 pies de alto en el centro y 6 pies de ancho en la base. Si hay que meter una caja rectangular de 8 pies de alto, ¿Cuál es el ancho máximo que puede tener la caja?

Answer 1

El ancho máximo que puede tener la caja rectangular es de 2 pies

Procedimiento:

Se plantea una entrada a un edificio en forma de arco parabólico

Con dimensiones,

• 9 pies de altura en el centro

• 6 pies de ancho en la base

Se debe meter una caja rectangular por esa entrada parabólica de 8 pies de alto

Se desea saber el ancho máximo que puede tener esa caja

Solución

La parábola tiene un ancho de 6 pies

Por lo tanto pasará por los puntos (-3,0) y (3,0)

La parábola tiene una altura de 9 pies en el centro

Por lo tanto pasará por el punto (0,9)

Ecuación de la parábola

$\boxed{\bold {y = ax^{2} +by +c}}$

Para que la parábola pase por esos 3 puntos debe cumplirse

$\boxed {\bold { 0 = a(-3)^{2} -3b + c}}$

$\boxed {\bold { 0 = a(3)^{2} +3b + c}}$

$\boxed {\bold { 9 = a(0)^{2} +0b + c}}$

Resolvemos las tres ecuaciones

$\boxed {\bold { 9a -3b + c = 0 }}$

$\boxed {\bold { 9a +3b + c = 0 }}$

$\boxed {\bold { c = 9 }}$

Ya conocemos el valor de c = 9 para la ecuación de la parábola

Sustituimos el valor de c = 9 en las otras 2 ecuaciones

Obteniendo

$\boxed {\bold { 9a -3b + 9= 0 }}$

$\boxed {\bold { 9a +3b + 9 = 0 }}$

Procedemos a sumar las dos ecuaciones

Resultando,

$\boxed {\bold { 9a -3b + 9 +9a +3b + 9= 0 }}$

$\boxed {\bold { 18a + 18= 0 }}$

Vamos a tomar la última ecuación para hallar el valor de a

$\boxed {\bold { 18a + 18= 0 }}$  

$\boxed {\bold { 18a -18 }}$

$\boxed {\bold { a = -\frac{18}{18} }}$

$\boxed {\bold { a = -1 }}$

Ya conocemos el valor de a = -1 para la ecuación de la parábola    

Falta conocer el valor de b

Entonces reemplazamos en valor hallado de a = - 1 en esta ecuación

$\boxed {\bold { 9a -3b + 9= 0 }}$

$\boxed {\bold { -9 -3b + 9 = 0 }}$

$\boxed {\bold { -3b = 0 }}$

$\boxed {\bold { b = 0 }}$

Ya conocemos el valor de b = 0 para la ecuación de la parábola  

Luego en la ecuación de la parábola que es

$\boxed{\bold {y = ax^{2} +by +c}}$

Dónde a = -1, b = 0 y c = 9

Reemplazamos por los valores hallados y hemos encontrado la ecuación de la parábola:

$\boxed{\bold {y = -x^{2} +9}}$

Hallando la dimensión de la caja rectangular

Sabemos que el alto de la caja es de 8 pies de alto

Entonces sustituimos la y de la ecuación por la altura dada y resolvemos para x para encontrar el ancho máximo de la caja rectangular

$\boxed{\bold {8 = -x^{2} +9}}$

$\boxed{\bold {x^{2} =9 -8}}$

$\boxed{\bold {x^{2} \pm1}}$

$\boxed{\bold {\sqrt{x^{2} } \pm\sqrt{1} }}$

$\boxed{\bold {x} \pm1}}$

$\boxed{\bold {x_{1} } =1}}$

$\boxed{\bold {x_{2} } = -1}}$

Para determinar el ancho de la caja, que al ser de formato rectangular su anchura es solamente un segmento horizontal y a la vez como estamos operando dentro de un arco parabólico, los 2 valores de x, x = 1, y x = -1, se distribuyen sobre el eje cartesiano X, desde el centro 0.

O lo que es lo mismo se trata de restar los 2 valores hallados de x:

$\boxed{\bold {x - (-x)}}$

$\boxed{\bold {1 - (-1)}}$

$\boxed{\bold {Ancho\ M\'aximo\ Caja= 2 \ pies}}$

Nota: Para una mejor comprensión del planteo y desarrollo del ejercicio se incluye un gráfico con el trazado de la parábola que representa a la entrada del edificio. En donde la caja rectangular que se desea meter por ella está configurada por el rectángulo ABCD. En donde los puntos A y B de la figura son  (-1,8) y (1,8) respectivamente, y los puntos C y D son (-1,0) y (0,1) también de manera respectiva.