Question

Hola, tengo esos problemas de cálculo diferencial.
Y pues por la situación actual no he tenido clases, así que no se como resolver estos problemas.
Me ayudarían mucho si me ayudan a resolverlos y explicarme el procedimiento de como llegaron al resultado.
Solo los problemas del 1 al 5​

Answer 1

Respuesta:

$1) f'(x)=2mx \\\\2) f'(x)= 2ax+b\\\\3) f'(x)=- \frac{1}{x^{2} } \\\\ 4)f'(x)=15x^{2} \\\\5)f'(x)=-\frac{2}{x^{3} }$

Explicación:

$\lim_{h \to \00} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$1) El\ proceso\ consta\ de \ cuatro\ pasos:\\\\i) f(x+h)= m(x+h)^{2}= mx^{2} +2mxh+mh^{2} \\ii) f(x+h)-f(x)=[ mx^{2} +2mxh+mh^{2}]-mx^{2}=h(mh+2mx) \\iii) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{h(mh+2mx)}{h} = mh+2mx\\iv) \lim_{h \to \00} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h \to \00} [mh+2mx]= 2mx$

$2)\ i) f(x+h)= a(x+h)^{2}+b(x+h)+c= ax^{2} +2axh+ah^{2}+bx+bh+c\\ii) f(x+h)-f(x)=[ax^{2} +2axh+ah^{2}+bx+bh+c]-ax^{2} -bx-c= 2axh+bh+ah^{2} \\iii) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{h(2ax+b+ah)}{h}= 2ax+b+ah\\iv) \lim_{h \to \00} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h \to \00} [2ax+b+ah]= 2ax+b$

$3)\ i) f(x+h)= \frac{1}{x+h} \\ii) f(x+h)-f(x)=[\frac{1}{x+h}]-\frac{1}{x}=\frac{-h}{x^{2} +h}\\iii) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{-h}{x^{2} h+xh^{2} }=\frac{-h}{h(x^{2} +xh)}=-\frac{1}{x^{2} +xh} \\iv) \lim_{h \to \00} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h \to \00} [\frac{-1}{(x^{2} +xh)}]= -\frac{1}{x^{2} }$

$4)\i) f(x+h)= 5(x+h)^{3}= 5x^{3} +15x^{2} h+15xh^{2} +5h^{3} \\ii) f(x+h)-f(x)=[ 5x^{3} +15x^{2} h+15xh^{2} +5h^{3}]-5x^{3}=h(15x^{2} +15xh} +5h^{2}) \\iii) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{h(15x^{2} +15xh+5h^{2})}{h} = 15x^{2} +15xh+5h^{2}\\iv) \lim_{h \to \00} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h \to \00} [15x^{2} +15xh+5h^{2}]= 15x^{2}$

$5)\ i) f(x+h)= \frac{1}{(x+h)^{2} }= \frac{1}{x^{2}+2xh+h^{2}} \\ii) f(x+h)-f(x)=[\frac{1}{x^{2}+2xh+h^{2}}]-\frac{1}{x^{2} }=-\frac{2xh-h^{2}}{x^{4}+2x^{3}h+x^{2}h^{2}}\\iii) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=- \frac{h(2x-h)}{h(x^{4}+2x^{3}h+x^{2}h^{2}) }=-\frac{2x-h}{x^{4}+2x^{3}h+x^{2}h^{2}} \\iv) \lim_{h \to \00} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h \to \00} [-\frac{2x-h}{x^{4}+2x^{3}h+x^{2}h^{2}}]= -\frac{2}{x^{3} }$