Question

Hola realmente necesito ayuda con la siguiente Ecuación diferencial:

si alguien sabe como resolverla se lo agradecería.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+2}{x+y-4}$

Answer 1

SOLUCIÒN

Hola!! :D

Lo resolveremos haciendo un pequeño cambio de variable( u = x + y), esto lo haremos porque es una ecuación diferencial reducible a una homogénea.

                            $\mathrm{Analicemos \: la \: diferencial}\\\\u = x + y \\\\du = d(x+y)\\\\du = dx+dy\\ \\\Rightarrow{\boxed{\boldsymbol{dy = du -dx}}}$

$\mathrm{Reemplacemos \: el \: cambio \: de \:variable}\\\\\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{(x+y)+2}{(x+y)-4}\\ \\ \\ \dfrac{du-dx}{dx} =\dfrac{u + 2}{u-4}\\ \\\\\dfrac{du}{dx} - \dfrac{dx}{dx} =\dfrac{u + 2}{u-4}\\\\\\\dfrac{du}{dx} - 1 =\dfrac{u + 2}{u-4}\\\\\\ \dfrac{du}{dx} =\dfrac{u + 2}{u-4}+1\\\\\\\dfrac{du}{dx} =\dfrac{u + 2 + (u-4)}{u-4}\\\\\\\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2u - 2}{u-4}\\\\\\(\dfrac{u-4}{2u-2})du = dx\\\\\\\int\limits{(\dfrac{u-4}{2u-2})} \, du =\int\limits{} \, dx$

$\dfrac{u^{2}}{2u-2} + \dfrac{1}{2}(ln|u-1|- \dfrac{1}{u-1}) -2ln|2u-2| = x\\\\\\Reemplazamos \: u\\\\\\\Rightarrow \boxed{\mathrm{\boldsymbol{\dfrac{(x+y)^{2}}{2(x+y)-2} + \dfrac{1}{2}(ln|(x+y)-1|- \dfrac{1}{(x+y)-1}) -2ln|2(x+y)-2| = x}}}$

* Para resolver la integral existen muchos métodos, yo lo hice separando en fracciones parciales.