Question

Hola, pueden ayudarme con este ejercicio Porfa

Sea {aₙ} La sucesión definida recursivamente por:

a₁=3 a₂= 33

aₙ= 11ₐₙ-₁ - 28ₐₙ₋₂ Para n ≥ 3

Probar que

aₙ= 7ⁿ - 4ⁿ ∀ n ∈ N

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Tenemos nuestra sucesión definida recursivamente:

$\left \{ {{a_{1}=3 } \atop a_{2= 33} }} \right\\\left \{ {{a_{n}= 11_{a_{n-1} }-28_{a_{n-2} } }$           Para n ≥ 3

Vamos a demostrar que:

$a_{n} =7^{n} -4^{n}$         ∀ n ∈ N

Para hacerlo, vamos a invocar al Principio de Inducción Fuerte (PIF)

¿Que diferencia tiene con el Principio de inducción normal (PI)?

• Al igual que el PI, partimos de un caso base y debemos comprobarlo

• Aquí viene lo interesante, comprobado el caso base, podemos asumir que se cumplirá para un "k" determinado (Esto es un requisito del PI), pero Por el PIF, nosotros podemos asumir también que no solo se cumpla para "k", sino para los anteriores también, es decir para "k-1", "k-2", etc (Esto es hipótesis inductiva)

• Con la hipótesis inductiva, podremos demostrar que se cumple para el "k+1"

Vamos al ejercicio:

Caso base:  n= 1

$a_{1} = 7^{1} -4^{1} = 3$

Recordando que a₁= 3

Veamos para n= 2

$a_{2} = 7^{2}-4^{2}= 33$    

a₂= 33, por lo tanto si se cumple:

Hipótesis inductiva: Supongamos que se cumple para n=k

$a_{k} = 7^{k} -4^{k}$

Pero por inducción fuerte, también se va  a cumplir para el anterior

$a_{k-1} = 7^{k-1} -4^{k-1}$

Ahora debemos demostrar que se cumple para n= k + 1

$a_{k+1} = 11_{a_{k+1-1} } -28_{a_{k+1-2} }$

$a_{k+1} = 11_{a_{k} } -28_{a_{k-1} }$

Es decir, debemos llegar a que:

$a_{k+1} = 7^{k+1} -4^{k+1}$

Partimos de:

$a_{k+1} = 11_{a_{k} } -28_{a_{k-1} }$

Por hipótesis  de inducción:      $a_{k} = 7^{k} -4^{k}$

$a_{k+1} = 11*(7^{k}-4^{k} ) -28_{a_{k-1} }$

Pero ahora, por inducción fuerte:   $a_{k-1} = 7^{k-1} -4^{k-1}$

$a_{k+1} = 11*(7^{k}-4^{k} ) -28}*(7^{k-1}-4^{k-1})$

Ahora debemos usar álgebra para llegar a lo que queremos

Sabemos que, por propiedades de la potenciacion:

$7^{k-1} = 7^{k} *7^{-1} = 7^{k} *\frac{1}{7}$

$4^{k-1} = 4^{k} *4^{-1} = 4^{k} *\frac{1}{4}$

Reemplazamos:

$a_{k+1} = 11*(7^{k}-4^{k} ) -28}*(7^{k}*\frac{1}{7} -4^{k}*\frac{1}{4} )$

Aplicamos propiedad distributiva en ambos términos:

$a_{k+1} = 11*7^{k} -11*4^{k} - 4*7^{k} +7*4^{k}$

Podemos factorizar 7 allí

$a_{k+1} = 7^{k}*(11-4) - 4^{k}*(11-7)$

$a_{k+1} = 7^{k}*(7) - 4^{k}*(4)$

$a_{k+1} = 7^{k+1} - 4^{k+1}$      ∀ n ∈ N     Q.E.D    ¡Magia!

Nop, la magia no existe (por lo menos en matemáticas), debemos tener cuidado con el álgebra, ya que podemos equivocarnos y pagarlo caro

Saludoss