Question

hola por favor no se cómo sacar el valor de los catetos teniendo solo el dato de la hipotenusa. muchas gracias por favor

agradezco el paso a paso para entender mucho mejor. gracias por su tiempo ☺️​

Answer 1

Los valores de los catetos a y b son de 20 y de 15 unidades respectivamente

Se tiene un triángulo rectángulo en donde se conoce el valor de su hipotenusa y de manera parcial el valor de un cateto

Donde se pide hallar el valor de los catetos

Empleando la notación habitual en los triángulos rectángulos donde "a" y "b" son los catetos y "c" la hipotenusa se tiene:

$\large\textsf{a = Cateto a = b + 5 }$

$\large\textsf{b = Cateto b }$

$\large\textsf{c = Hipotenusa= 25 }$

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\large\boxed {\bold { cateto \ a^{2} \ + \ cateto \ b^{2} = hipotenusa^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = c^{2} }}$

Empleamos el teorema de Pitágoras

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = c^{2} }}$

$\boxed {\bold { (b+5)^{2} \ + \ (b)^{2} = (25)^{2} }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + 10b \ + \ 25 \ + \ b^{2} = 625 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + 10b \ + \ 25\ + \ b^{2} \ - 625 =0}}$

$\boxed {\bold { b^{2} + 10b \ + \ b^{2} - 625\ + \ 25= 0 }}$

$\large\boxed {\bold { 2b^{2} + 10b\ - \ 600= 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual resolvemos para hallar el valor del cateto b:

Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de los coeficientes: a = 2, b =10 y c = -600 }$

$\boxed{ \bold{Cateto \ b = \frac{ -10 \pm \sqrt{ 10^2 - 4\ . \ (2 \ . \ -600) } }{2 \ . \ 2} }}$

$\boxed{ \bold{ Cateto \ b = \frac{ -10 \pm \sqrt{100-( 4\ . \ -1200) } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{ Cateto \ b = \frac{ -10 \pm \sqrt{100+ 4800 } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{Cateto \ b = \frac{ -10 \pm \sqrt{4900 } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{ Cateto \ b = \frac{ -10 \pm \sqrt{70^{2} } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{ Cateto \ b = \frac{ -10 \pm70 }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{ Cateto \ b = \frac{ -5 \pm35 }{2 } }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{Cateto \ b = 15, - 20 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{ Cateto \ b = 15 }}$

Hallamos el valor del cateto a

Donde sabemos que este cateto excede en 5 unidades al cateto b

$\boxed{ \bold{ Cateto \ a = Cateto \ b + 5 }}$

$\boxed{ \bold{ Cateto \ a = 15 + 5 }}$

$\large\boxed{ \bold{ Cateto \ a = 20 }}$

Por lo tanto los valores de los catetos a y b son de 20 y de 15 unidades respectivamente

Verificación

Luego tenenos

$\large\textsf{a = Cateto a = 20 }$

$\large\textsf{b = Cateto b = 15 }$

$\large\textsf{c = Hipotenusa = 25 }$

Por el teorema de Pitágoras:

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = c^{2} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\bold { (20)^{2} \ + \ ( 15) ^{2} =( 25 ) ^{2} }$

$\bold { 400 \ + \ 225 = 625 }$

$\large\boxed {\bold { 625 = 625 }}$

$\large\textsf{Se cumple la igualdad }$

Se agrega gráfico a escala