Question

hola! plis me podrían ayudar por favor para estos dos ejercicios es que no le entiendo Progresiones aritméticas y geométricas Resuelve los siguientes planteamientos respondiendo correctamente a las preguntas de cada caso. Menciona el método empleado y explica su procedimiento paso a paso. 1.-En nuestra empresa pedimos un préstamo al banco de 54000 pesos, el cuál pagaremos en 18 meses, los pagos serán de 3000 pesos mensuales al capital más el 10% de interés sobre el capital restante. ¿Cuántos intereses pagaremos? 2.-Gracias a un buen programa de publicidad, nuestros clientes están creciendo de manera geométrica mensualmente, iniciamos este programa cuando contábamos con 8 clientes y la razón es de 2. Genera la progresión para los siguientes 8 meses y encuentra la suma de clientes para ese tiempo, además encuentra el número de clientes que atenderemos en el mes número 20

Answer 1

PROGRESIÓN  ARITMÉTICA (PA)  Y   GEOMÉTRICA (PG)

El método que se desprende del primer ejercicio es usar una progresión ARITMÉTICA la cual se caracteriza por una diferencia entre términos consecutivos que siempre es la misma.

A esta cantidad se le llama diferencia "d " y para calcular el valor de un término cualquiera de la PA solo hay que sumar esa cantidad al término anterior.  Si la progresión es creciente, la diferencia será positiva pero si es decreciente, dicha diferencia irá precedida por el signo menos.

Para este ejercicio en concreto analizaré los datos ofrecidos y los convertiré en datos de la PA del siguiente modo:

Queda claro que tenemos que pagar un préstamo que asciende a 54.000 pesos en plazos mensuales con la condición de que en cada plazo se abona, además de la cantidad pactada sobre el capital (3.000 pesos),  otra cantidad que es el resultado de aplicar el 10% al capital que queda por amortizar.

Así pues, veamos lo que pasa cuando acaba el 1º mes.

Pagamos los 3.000 pesos acordados que rebajan el capital de 54.000 a 51.000 y sobre este nuevo capital pendiente se aplica el 10% que también abonamos en concepto de intereses, ok?

Por tanto:

• El 1º mes pagamos: 3.000 pesos sobre el capital + 10% de 51.000 = 5.100 por intereses.

• El 2º mes pagamos: 3.000 pesos sobre el capital + 10% de 48.000 = 4.800 por intereses.

• El 3º mes pagamos: 3.000 pesos sobre el capital + 10% de 45.000 = 4.500 por intereses.

• El 4º mes pagamos: 3.000 pesos sobre el capital + 10% de 42.000 = 4.200 por intereses

... y así hasta llegar al mes nº 18 que el capital se va reduciendo en 3.000 pesos y el interés en 300.

Fíjate en los pagos de intereses que van disminuyendo en una cantidad siempre igual que es 300.

• 51000 - 300 = 48000
• 48000 - 300 = 45000
• 45000 - 300 = 42000 ... etc...

Estamos ante una progresión aritmética DECRECIENTE ya que el valor de los términos disminuye según vamos aumentando el nº de orden en que van apareciendo, ok? así que esa cantidad en negativo es la diferencia "d" a que aludí al principio.

Ahora es cuando llegamos a la conversión de esos datos en datos de la PA y se dice esto:

• Valor del 1º término de la PA ... a₁ = 51000 pesos
• Diferencia entre términos consecutivos ... d = -300 pesos
• Nº de términos de la PA ... n = 18 meses (cada mes que pasa cambia el valor del término de la PA)

Como hay que amortizar todo el capital, debemos tener en cuenta que en el mes nº 18, al abonar los 300 pesos correspondientes, el monto de interés que quedará será nulo, o sea, cero, ok?

Según eso, el valor del último término  a₁₈  es 0

Nos pide calcular el monto total de intereses que se pagarán y para ello se acude a la fórmula de suma de términos de cualquier PA que dice:

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Sustituyo los datos:

$S_{18}=\dfrac{(5100+0)*18}{2}=\boxed{45.900\ pesos\ de\ inter\'es}$

En el segundo ejercicio tenemos una progresión geométrica PG porque el valor de cada término se obtiene de multiplicar por un número invariable llamado razón "r" el término anterior.

Así, si comenzaron con 8 clientes, al final del primer mes ya tenían el resultado de multiplicar 8×2 = 16 clientes,  al segundo mes tenían 16×2 = 32 clientes... y así sucesivamente.

Las PG se generan a partir de esta fórmula:  $a_n=a_1*r^{n-1}$

En nuestro caso, tenemos esto:

• Primer término... a₁ = 8 clientes
• Razón de la PG... r = 2
• Nº de términos... n = 8
• Último término... aₙ = a₈ = ?

Aplicamos la fórmula indicada sustituyendo datos para saber el valor del término nº 8 que será el nº de clientes del octavo mes:

$a_n=a_{8} =8*2^{8-1}=8*2^7=\boxed{1.024\ clientes}$

Para saber el nº de clientes del mes nº 20 se hace lo mismo pero cambiando el dato de "n" ya que el número de términos de esa PG será de 20.

$a_n=a_{20} =8*2^{20-1}=8*2^{19}=\boxed{4.194.304\ clientes}$

Saludos.