Question

Hola necesito tu ayuda con una tarea xc de matematicas
-determinar la posición relativa de cada par de rectas.

A) Y= 4x+5
2y-8x=11

B) y= -7x-9
- 3 y = 21x+7

Answer 1

Bueno primero tenemos que ver algunos casos de posiciones relativas entre rectas..
La pendiente de cualquier recta de la forma general 

$Ax+By+C=0$
Entonces la pendiente será igual a

$m=- \frac{A}{B}$

Ahora si, los diferentes casos de posiciones son:
1. Rectas paralelas
$m_{1} = m_{2}$ 
las pendientes deben ser las mimas
Para éste caso también se particulariza..estás de acuerdo que si dos rectas que son paralelas tienen las mismas pendientes...entonces también puede pasar el caso que....las rectas sean las mismas...es decir esté encima de la otra recta.

2. Cuando dos rectas se intersecan ...en donde claro...las pendientes son distintas..
$m_{1} .... m_{2}$

3. Dos rectas son perpendiculares si las pendientes cumple la siguiente propiedad

$m _{1} m _{2} =-1$

Ya éstas son todos las posibles posiciones relativas de las rectas...veamos a cual corresponde el primer sistema

$\left \{ {{y=4x+5} \atop {2y-8x=11}} \right. = \left \{ {{-4x+y-5=0} \atop {-8x+2y-11=0}} \right.$

Únicamente hemos hecho igualar a las ecuaciones a cero...Ahora podríamos calcular las pendientes con las fórmulas y fijarnos si cumple alguna de las propiedades...
La pendiente de la primera tenemos 
$Ecuacion _{1} \\ -4x+y-5=0 \\ Pendiente: \\ m_{1} = -\frac{-4}{1} =4$

Ahora para la segunda ecuación

$Ecuacion _{2} : \\ -8x+2y-11=0 \\ Pendiente: \\ m _{2}=- \frac{A}{B} =- \frac{-8}{2} =4$

Entonces si te das cuenta las pendientes son las mismas...entonces decimos que las rectas son paralelas...en la primera imagen te dejo la gráfica.

Ahora para el segundo sistema tenemos 
$\left \{ {{y=-7x-9} \atop {-3y=21x+7}} \right. = \left \{ {{7x+y+9=0} \atop {-21x-3y-7=0}} \right.=\left \{ {{7x+y+9=0} \atop {21x+3y+7=0}} \right.$

Ahora consideremos la primera ecuación

$Ecuacion _{1}: \\ 7x+y+9=0 \\ Pendiente: \\ m=- \frac{A}{B} =- \frac{7}{1} =-7$

Ahora consideremos la segunda ecuación
$Ecuacion _{2} : \\ 21x+3y+7=0 \\ Pendiente: \\ m=- \frac{A}{B} =- \frac{21}{3} =-7$

Bueno y como te das cuenta las pendientes son las mismas...entonces decimos que la rectas son paralelas

Nota: Éstos criterios tienes que manejarlos bien...nos ahorramos cálculos porque?...un sistema de ecuaciones solo viendo las pendientes si son iguales significa que no se cortan en ningún y eso significa que el sistema no tiene solución....ahora otro criterio también sucede, cuando una ecuación es múltiplo de la otra...

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas...