Question

Hola, necesito la demostración de la regla de divisibilidad del 8 please

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Voy a usar congruencias para demostrarlo

Recordemos algunas definiciones

 

                    Restos potenciales:

• Dados n,m ∈ Z, n > 0, llamamos restos potenciales de n modulo m a los restos que obtenemos al dividir las sucesivas potencias de n entre m, es decir:

                         $n^{i}$ ≡ $r_{i} (m)$

        Reglas de divisibilidad

• Dados n,m ∈ Z, n > 0 y  $a= a_{k}n^{k} +a_{k-1}n^{k-1} +...+a_{1} n^{1} +a_{0} n^{0}$  un entero positivo escrito en base n. Si:

                  $n^{i}$ ≡ $r_{i} (m)$

Entonces

$a= a_{k} r_{k} +...+a_{0} r_{0} (m)$

Parece complicado, pero con el ejercicio se van a aclarar muchas cosas

Recordemos que por lo general, usamos base decimal, es decir base 10, esto será clave para demostrar muchas reglas de divisibilidad

                Demostración regla de divisibilidad del 8

Primero debemos calcular los restos potenciales de:

$10^{i}$ ≡ $r_{i} (8)$

Empezamos por 0

$10^{0}$ ≡ $1(8)$  

$10^{1}$ ≡ $2(8)$

Es 2, porque 10 elevado a la 1 es 10, y si lo dividimos entre 8 nos da resto 2

$10^{2}$ ≡ $4(8)$

$10^{3}$ ≡ $0(8)$

$10^{4}$ ≡ $0(8)$

Vemos que se va repitiendo cuando i= 5,6, etc

Hemos llegado a la conclusión que, cuando i > 2,   $10^{i}$ ≡ $0(8)$

Por lo tanto, aplicando la definición de las reglas de divisibilidad, tenemos que:

$a$ ≡ $4a_{2} +2a_{1} +a_{0} (8)$

Es decir, un numero es divisible por 8 si lo es la suma entre: su ultima cifra mas 2 veces la penúltima cifra, mas 4 veces la antepenúltima

Saludoss