Hola, necesito demostrar este Lema:
"La intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo"
Respuestas a la pregunta
Hola, aquí va la respuesta
Conjuntos inductivos
Decimos que un subconjunto H ⊆ R es inductivo si se cumple dos propiedades:
- 1 ∈ H
- K ∈ H ⇒ K + 1 ∈ H
Veamos un ejemplo corto,
¿El conjunto de los números reales es inductivo?
Vemos que se cumple la propiedad 1, ya que el numero 1 si pertenece a los reales, es decir, 1 ∈ R
Dado un numero "K" real, vemos que K + 1 ∈ R, ya que tenemos la suma de dos reales, que es un real.
Por lo tanto si es inductivo
Lema: "La intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo"
Demostración
Sean A y B dos conjuntos inductivos de R. Vamos a probar que su intersección es también un conjunto inductivo, para ver esto debemos verificar las 2 propiedades ya mencionadas
- Como A y B son inductivos, esto quiere decir que 1 ∈ A y 1 ∈ B por lo cual esto implica que 1 ∈ A ∩ B
- Si K ∈ A ∩ B. Por definición de intersección:
A ∩ B= {x/ x ∈ A ∧ x ∈ B}
K ∈ A y K ∈ B
Como A es inductivo y K ∈ A ⇒ K + 1 ∈ A
De manera análoga, Si B es inductiva y K ∈ B ⇒ K + 1 ∈ B
Entonces K + 1 ∈ A ∩ B
Como verificamos la propiedad 1 y 2, entonces la intersección de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo
Saludoss