Question

HOLA, NECESITO AYUDA.
Problema:
$\frac{( \sqrt{3} + 1).(3i)}{ ( - 3i).(3i)}$
El resultado tiene que dar:
$- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} i}{2}$
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Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

   Producto y Cociente de números complejos

Podemos definir a los números complejos como un conjunto formado de la siguiente manera:

                         C= {a + bi / a,b ∈ R}

Estos además cumplen una propiedad fundamental, que es la siguiente:

                                   i²= -1

                                 Producto

Si tenemos 2 complejos:     Z₁= (a + bi)    y  Z₂= ( c + di)

El producto Z₁Z₂ será aplicar la propiedad distributiva

(a + bi) (c + di)= ac + adi + bci - bd

                                     División

Caso 1: El denominador es un complejo de parte real 0

Es decir:

       $\frac{a+bi}{di}$

Lo que debemos hacer es multiplicar tanto arriba como abajo por di, de tal forma que podamos eliminar el complejo del denominador

                          $\frac{a+bi}{di} *\frac{di}{di}$

• Caso 2: El denominador es un complejo con parte real e imaginaria no nula

$\frac{a+bi}{c+di}$

Hacemos lo mismo que el caso anterior, pero esta vez será por su conjugado  (es decir, se cambia el signo del medio)

                    $\frac{a+bi}{c+di} *\frac{c-di}{c-di}$

Veamos el ejercicio

Tenemos:

$\frac{(\sqrt{3}+1)(3i) }{(-3i)(3i)}$

Podemos simplificar 3i

$\frac{\sqrt{3} +1}{-3i}$

Siguiendo el caso 1, resolvemos la división:

$\frac{\sqrt{3}+1 }{-3i} *\frac{-3i}{-3i}$

$\frac{-\sqrt{3}*3i -3i}{9i^{2} }$

Por propiedad fundamental:

$\frac{-3\sqrt{3}i -3i}{9(-1)}$

$\frac{-3\sqrt{3}i-3i }{-9}$  

Factorizamos el -3

$\frac{-3(\sqrt{3}i+i) }{-9}$

$\frac{\sqrt{3}i+i }{3}$

La solución será:

$\frac{\sqrt{3} }{3} i+\frac{1}{3} i$

Saludoss

Answer 2

   Producto y cociente de números complejos

No se admiten signos de operaciones, raíces, parámetros, constantes, variables o espacios.

$\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\cdot \left(3i\right)}{\left(-3i\right)\cdot \left(3i\right)}$ ⇒ $\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(-3i\right)}\cdot \frac{\left(3i\right)}{\left(3i\right)}$ ⇒ $\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}i$

Propiedades de fracciones:

→ $\frac{a}{a}=1$

→ $\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

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Explicacion:

⇒ $\left(1+\sqrt{3}\right)\left(-i\right)$ ⇒ $-\left(1+\sqrt{3}\right)i$ ⇒ $\left(-1-\sqrt{3}\right)i$

⇒ $3i\left(-i\right)$ ⇒ $-3ii$ ⇒ $-3i^2$ ⇒ $3$

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Solucion:

$\frac{\sqrt{3}+1}{-3i}\cdot \frac{3i}{3i}\\\\1\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{-3i}\\\\-1\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{3i}\\\\-\frac{1+\sqrt{3}}{3i}\\\\\frac{i\left(1+\sqrt{3}\right)}{3}\\\\\frac{\sqrt{3}+1}{3}i$

$\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}i$

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