Question

Hola, necesito ayuda en un problema de trigonometría​

Answer 1

De las igualdades dadas la que permite determinar correctamente la distancia a la que se encuentran Juan y Jonathan es la opción D  

El enunciado dice lo siguiente:

Juan, Jonathan y Luis juegan al fútbol. En un momento del partido se ubican como se muestra la figura (ver gráfico adjunto al ejercicio). ¿Cuál de las siguientes igualdades, permite determinar correctamente la distancia a la que se encuentran Juan y Jonathan?

Donde se dan cuatro igualdades como opciones para determinar lo pedido (ver adjunto del problema)

Siendo un clásico ejercicio de examen se desarrollará de manera integral para que se pueda comprender de manera completa de como y de donde se obtiene la igualdad pedida.

Se trata de comprender relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo cualesquiera y desarrollar el ejercicio es la mejor manera para entender lo pedido

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo obtusángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

En nuestro imaginario triángulo obtusángulo ABC  - en donde en cada uno de los vértices se ubica un jugador - y además se conocen los tres ángulos del triángulo -  este está conformado por el lado AB que representa la distancia en ese momento del partido entre Luis y Jonathan - la cual es un dato que nos da el enunciado- y los otros dos lados AC y BC equivalen respectivamente a las distancias entre Luis y Juan y entre Juan y Jonathan. Siendo la distancia entre Juan y Jonathan en donde se pide determinar cual es la igualdad correcta que determina la distancia entre ambos.

Al desarrollar el ejercicio se verá porque una igualdad es válida y no las otras

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto, en donde al lado denotado como d se lo ha llamado a y b respectivamente para los lados de valor desconocido para evitar confusiones.

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación

$\boxed{ \bold { \frac{a}{ sen (\alpha) } = \frac{b}{sen (\beta) } =\frac{c}{ sen (\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando la distancia "d" = "a" - Distancia entre Juan y Jonathan

Expresamos

$\boxed{ \bold { \frac{a}{ sen (\alpha) } =\frac{c}{ sen (\gamma)} }}$

$\boxed{ \bold { \frac{a}{ sen (27)\° } =\frac{c}{ sen (105)\° } }}$

$\boxed{ \bold { \frac{a}{ sen (27)\° } =\frac{ 5 \ metros}{ sen (105)\° } }}$

$\boxed{ \bold { a =\frac{ 5 \ metros \ . \ sen (27)\° }{ sen (105)\° } }}$

$\boxed{ \bold { a =\frac{ 5 \ metros \ . \ 0,4539904997395 }{ 0,9659258262890 } }}$

$\boxed{ \bold { a =\frac{ 2,2699524986977 \ metros }{ 0,9659258262890 } }}$

$\boxed{ \bold { a \approx 2,350027\ metros }}$

$\boxed{ \bold { a \approx 2,35\ metros }}$

La distancia entre Juan y Jonathan es de ≅ 2,35 metros

En el desarrollo vemos que

$\boxed{ \bold { \frac{a}{ sen (27)\° } =\frac{ 5 \ metros}{ sen (105)\° } }}$

Concluyendo que de las igualdades dadas la que permite determinar correctamente la distancia a la que se encuentran Juan y Jonathan la válida es la opción D

$\boxed{ \bold { \frac{d}{ sen (27)\° } =\frac{ 5 \ metros}{ sen (105)\° } }}$

Aunque no está impuesto por el enunciado, si quisiéramos hallar la distancia entre Juan y Luis

Que corresponde a la distancia "d" = "b"

$\boxed{ \bold { \frac{b}{sen (\beta) } =\frac{c}{ sen (\gamma)} }}$

$\boxed{ \bold { \frac{b}{ sen (48)\° } =\frac{c}{ sen (105)\° } }}$

$\boxed{ \bold { \frac{b}{ sen (48)\° } =\frac{ 5 \ metros}{ sen (105)\° } }}$

$\boxed{ \bold { b =\frac{ 5 \ metros \ . \ sen (48)\° }{ sen (105)\° } }}$

$\boxed{ \bold { b =\frac{ 5 \ metros \ . \ 0,7431448254773 }{ 0,9659258262890 } }}$

$\boxed{ \bold { b =\frac{ 3,7157241273839 \ metros }{ 0,9659258262890 } }}$

$\boxed{ \bold { b \approx 3,84680 \ metros }}$

$\boxed{ \bold { b \approx 3,85 \ metros }}$

La distancia entre Juan y Luis es de ≅ 3,85 metros

En el desarrollo vemos que

$\boxed{ \bold { \frac{b}{ sen (48)\° } =\frac{ 5 \ metros}{ sen (105)\° } }}$

Concluyendo que de las igualdades dadas la que permite determinar correctamente la distancia a la que se encuentran Juan y Luis la válida es la opción B

$\boxed{ \bold { \frac{d}{ sen (48)\° } =\frac{ 5 \ metros}{ sen (105)\° } }}$