hola me pueden ayudar con este problema porfaa ):
Un lago de montaña en un parque nacional tiene en la primavera de cada año dos especies de peces, S1 y
S2
. El peso promedio de cada pez en el lago es de 4 libras para S1
y de 2 libras para S2
. Se dispone de dos tipos de alimento; A1 y A2
. Las necesidades promedio de un pez de la especie S1
son de 1 unidad de A1 y 3 unidades de A2 diariamente. Las necesidades correspondientes de la especie S2 son de 2 unidades de A1 y 1 unidad de A2
. Si se cuenta con 500 unidades de A1 y 900 unidades de A2 por día, ¿cómo debe
ser la cantidad de peces de cada especie para maximizar el peso de pescado que se pueda producir?
Respuestas a la pregunta
Respuesta: peso máximo de pescado que se puede producir = 1280 libras y se consigue con 260 peces de la especie S1 y 120 peces de la especie S2 (Ver gráfica y explicación paso a paso)
Explicación paso a paso:
Este problema solo tiene dos incógnitas, así que podemos representarlo en un plano cartesiano.
Representaremos en el eje X número de peces de la especie 1
Representaremos en el eje Y número de peces de la especie 2
Nos dicen que los peces de la especie 1 pesan 4 libras y los de la especie 2 pesan 2 libras.
Expresando algebraicamente la función objetivo como Z:
Maximizar Z = 4x + 2y } Función objetivo
Tenemos limitaciones debidas al alimento disponible:
Hay dos alimentos A1 ≤ 500 y A2 ≤ 900 diarios
Los peces de la especie 1 consumen 1 unidad diaria del alimento A1
Los peces de la especie 2 consumen 2 unidades diarias del alimento A1
x + 2y ≤500 } Restricción 1 consumo alimento A1
Los peces de la especie 1 consumen 3 unidades diarias del alimento A2
Los peces de la especie 2 consumen 1 unidad diaria del alimento A2
3x + y ≤900 } Restricción 2 consumo alimento A2
También hay una restricción debido a la naturaleza de los elementos a optimizar: el número de peces no puede ser nunca negativo:
x >=0
y >=0
Representamos la restricción 1
Representamos la recta x + 2y = 500
En esta recta cuando x = 0, y = 500/2 = 250
En esta recta cuando y = 0, x = 500
recta (I) y = (-x + 500)/2 = -x/2 + 250
Representamos la restricción 2
Representamos la recta 3x + y = 900
En esta recta cuando x = 0, y = 900
En esta recta cuando y = 0 , x = 900/3 = 300
recta (II) y = -3x + 900
La región factible es la señalada en amarillo bajo las dos rectas de restricción
Coordenadas de los puntos de la región factible
Punto A punto de corte de la recta (I) con el eje de ordenadas
A(0,250)
Punto B punto de intersección de las rectas (I) y (II)
(B)(260,120)
Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (I) y (II)
x + 2y = 500 (I)
3x + y = 900 (II)
Despejamos y de la ecuación (II) y lo sustituimos en le ecuación (I)
y = -3x + 900 x + 2(-3x + 900) = 500
x -6x +1800 = 500
-5x = 500-1800 = -1300
x = -1300/-5 = 260
Y sustituyendo este valor tenemos
y = -3x + 900
y = -3·260 + 900 = -780 + 900 = 120
El punto de intersección (B)(260,120)
Punto C punto de corte de la recta (II) con el eje de abscisas
C(300,0)
Sustituyendo estos tres vértices de la zona factible en la función objetivo, determinamos cual es el máximo
Z = 4x + 2y } Función objetivo
(A)(0,250)
Z = 4x0 + 2x250 = 500
(B)(260,120)
Z = 4x260 + 2x120 = 1040 + 240 = 1280 , máximo
(C)(300,0)
Z = 4x300 + 2x0 = 1200
Respuesta: peso máximo de pescado que se puede producir = 1280 libras y se consigue con 260 peces de la especie S1 y 120 peces de la especie S2 (Ver gráfico)
Recta (III) 4x + 2y = 1280 (color verde)
x = 1280/4 = 320 , corte con el eje x
y = 1280/2 = 640 , corte con el eje y
Michael Spymore
