hola me podríais ayudar ?? ¿Cuál de las siguientes definiciones sobre el punto no es cierto?
1 es la intersección entre dos arcos
2 es la intersección entre dos rectas
3 Es la intersección entre un plano y una recta
4 Es la intersección de dos planos
5 Es la una circunferencia de radio 0
es de plastica
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
r
∩
π
=
{
P
}
Caso 2
Una recta puede ser paralela a un plano:
gif018-recta-que-no-corta-a-plano
r
∥
π
r
∩
π
=
∅
Caso 3
Una recta puede estar incluida en un plano:
gif014-recta-incluida-en-plano
r
⊂
π
r
∩
π
=
r
Ejemplos
Dados:
π
:
2
x
–
3
y
+
z
+
1
=
0
r
1
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
1
,
3
)
+
α
(
1
,
0
,
1
)
¿Cómo se busca la intersección entre la recta y el plano?
Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y las reemplazamos en la ecuación del plano:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
=
α
y
=
1
z
=
3
+
α
2
α
–
3.1
+
(
3
+
α
)
+
1
=
0
⇒
α
=
–
1
3
Reemplazando el valor del parámetro
α
en las ecuaciones de la recta, obtenemos el punto de intersección:
r
1
∩
π
=
{
(
–
1
3
,
1
,
8
3
)
}
gif015-recta-intersecta-plano-ejemplo
Busquemos ahora la intersección del mismo plano
π
con la recta
r
2
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
,
–
1
)
+
λ
(
3
,
2
,
0
)
Escribimos las ecuaciones paramétricas:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
=
3
λ
y
=
2
λ
z
=
–
1
Reemplazamos en la ecuación del plano
2
(
3
λ
)
–
3
(
2
λ
)
–
1
+
1
=
0
⇒
0
=
0
∀
λ
Queda una expresión que es verdadera para todo
λ
. Esto significa que todo punto de la recta verifica la ecuación del plano. En este caso podemos afirmar que la recta está incluida en el plano, por lo tanto:
r
2
∩
π
=
r
2
.
gif016-recta-incluida-en-plano-ejemplo
Considerando el mismo plano
π
, hallemos la intersección con la recta
r
3
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
5
,
0
,
0
)
+
t
(
0
,
1
,
3
)
Reiterando el procedimiento, resulta:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
=
5
y
=
t
z
=
3
t
10
–
3
t
+
3
t
+
1
=
0
⇒
11
=
0
a
b
s
u
r
d
o
Este absurdo nos indica que la recta y el plano no tienen ningún punto en común, o sea que la recta es paralela al plano y por lo tanto:
r
∩
π
=
∅
gif017-recta-que-no-corta-a-plano-ejemplo
En resumen:
Para hallar la intersección entre un plano y una recta, se reemplazan las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano.
Pueden presentarse tres casos:
i) Es posible despejar el valor del parámetro, entonces reemplazando este valor en las ecuaciones de la recta se obtiene el punto de intersección. En este caso:
r
∩
π
=
{
P
}
ii)
0
=
0
⇒
r
⊂
π
⇒
r
∩
π
=
r
iii)
0
=
k
(
c
o
n
k
≠
0
)
⇒
A
b
s
u
r
d
o
⇒
r
∥
π
⇒
r
∩
π
=
∅
Paralelismo entre recta y plano
¿Existe una manera de anticipar si una recta es paralela a un plano sin buscar la intersección?
Una vez más, los vectores resultarán una herramienta potente para la geometría de rectas y planos. Observemos la siguiente figura:
¿Cómo deben ser el vector normal del plano y el vector director de la recta para que
r
∥
π
?
r
∥
π
⇔
⃗
v
⊥
⃗
n
⇔
⃗
v
.
⃗
n
=
0
¿Qué ocurre si la recta está incluida en el plano?
En este caso también se verifica que el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano. Pero a diferencia del caso anterior, todos los puntos de la recta están en el plano. Esto nos permite afirmar que:
r
⊂
π
⇔
{
⃗
v
⊥
⃗
n
P
r
∈
π
Ejemplo
Dados el plano
π
:
x
+
y
–
z
–
3
=
0
y la recta
r
:
(
x
,
y
,
z
)
=
(
1
,
0
,
0
)
+
t
(
0
,
2
,
2
)
, comprobar que la recta es paralela al plano. ¿Está incluida en el plano?
Si la recta es paralela al plano entonces su vector director
⃗
v
debe ser perpendicular al vector normal del plano
⃗
n
. Luego
⃗
n
.
⃗
v
debe ser cero:
(
1
,
1
,
–
1
)
(
0
,
2
,
2
)
=
2
–
2
=
0
Para saber si la recta está incluida en el plano veamos si el punto
(
1
,
0
,
0
)
satisface la ecuación del plano
π
:
1
+
0
–
0
–
3
=
0
⇒
–
2
=
0
A
b
s
!
Como el punto no satisface la ecuación podemos concluir que
r
no está incluida en
π
.
Ejercicio para el lector 3
Sea
π
el plano paralelo al eje
y
que pasa por
(
1
,
1
,
1
)
y
(
1
,
2
,
3
)
, y
r
:
{
x
–
y
=
0
x
+
k
z
=
2
Hallar, si es posible, el valor de
k
para que la recta
r
sea paralela a
π
.
Si existe
k
, analizar si
r
⊂
π
.
Respuesta:
k
=
0
y la recta no pertenece al plano.
Perpendicularidad entre recta y plano
Explicación:
corona porfavor