Question

hola m pueden ayudar ∫x√1+x dx el 1+x va dentro de lo raíz

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

                                              $\displaystyle \int\! {x\sqrt{1+x}}\ dx$

Para este ejercicio hay dos posibles caminos, uno mediante cambio de variables y otro utilizando el método de integración por parte.

a) Por cambio de variable

Sea, el siguiente cambio y sus diferenciales

       $\ \ \ \ t^2 =1+x\\\\2t\ dt=dx$

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Sustituyendo

$\displaystyle \int\! {x\sqrt{1+x}}\ dx\ \Longrightarrow\int\! {(t^2-1)\sqrt{t^2}\ (2t\ dt)}=2\int\! {(t^2-1) t^2\ dt}$

                              $=\displaystyle 2\int\! {t^4-t^2\ dt=2\int\! {t^4\ dt-2\int\! {t^2\ dt}$

                              $=\dfrac{2}{5}\,t^5-\dfrac{2}{3}\,t^3+Const.$

Devolviendo el cambio

$=\dfrac{2}{5}\,(1+x)^\frac{5}{2}-\dfrac{2}{3}\,(1+x)^\frac{3}{2}+Const.$

Sacando factor común

$=2\,(1+x)^\frac{3}{2}\Big (\dfrac{1}{5}\,(1+x)-\dfrac{1}{3}\Big )+Const.$

$=2\,(1+x)^\frac{3}{2}\Big (\dfrac{x}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\Big )+Const.$

$=2\,(1+x)^\frac{3}{2}\Big (\dfrac{3x+3-5}{15}}\Big )+Const.$

$=\dfrac{2}{15}\,(1+x)^\frac{3}{2}(3x-2)+Const.$

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b) Por integración por parte

El cambio es el siguiente

$\ \ u=x\hspace{50}dv=\sqrt{1+x}\,dx\\\\du=dx\hspace{50}v=\dfrac{2}{3}(1+x)^\frac{3}{2}$

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Aplicamos el método...

                                                $\int {u\,dv}=u\,v-\int {v\,du}$

... el resto te queda de tarea... debes llegar al mismo resultado

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Espero que te sea de ayuda

Saludos y Cuidense