Question

hola, llevo varios días pensando e intentando entender como se hace pero no hay manera, alguien me puede explicar como se extraen los factores de un radical?
gracias

Answer 1

Para poder extraer factores de un radical, la condición necesaria es que ese factor lleve un exponente igual o mayor que el índice del radical.

Partiendo de esa norma, se toma el exponente del factor y se divide entre el índice de la raíz. El cociente de esa división será el exponente que acompañará al factor que sale fuera y si existe residuo en la división, será el exponente que quedará en el factor que no se extrae fuera.

Vamos con ejemplos:  $\sqrt{x^6}$

Tenemos el exponente "6" y el índice de la raíz "2" (es una raíz cuadrada y no se anota habitualmente), así que al dividir  6:2 = 3 es el exponente de "x" que sale fuera de la raíz y como no hay residuo, la raíz desaparece.  O sea:

$\sqrt{x^6}=x^3$

Vamos ahora con otro ejemplo distinto:  $\sqrt[3]{x^8}$

Hacemos lo mismo que antes. Al dividir  8 : 3 = 2 de cociente y 2 de residuo, por tanto sacaremos fuera de la raíz a "x" elevado al cuadrado y quedará dentro otra "x" elevado al cuadrado.

$\sqrt[3]{x^8} =x^2\sqrt[3]{x^2}$

¿Por qué se hace así?  La causa es sencilla de explicar, a ver si consigo que lo entiendas. Tomemos este último ejemplo:

Descompongo el radicando de este modo:  x⁸ = x³·x³·x² . Esto es correcto, verdad?

Porque en las reglas de la potenciación dice que potencias con la misma base se suman los exponentes, así que yo he hecho lo contrario, los he descompuesto en 3 potencias cuya suma de exponentes es igual a la potencia original, eso lo ves, no?

Si eso lo pongo dentro del radical:  $\sqrt[3]{x^3*x^3*x^2}$

Vemos que tenemos dos de los tres factores cuyo exponente coincide con el índice de la raíz, cierto?  Por tanto cada uno de esos factores sale fuera de la raíz con exponente 1 ya que al dividir 3 : 3 = 1, ok?

El resultado operando de ese modo sería:

$\sqrt[3]{x^8} =\sqrt[3]{x^3*x^3*x^2}=x*x*\sqrt[3]{x^2}=x^2\sqrt[3]{x^2}$

Es decir, el mismo resultado que me salió antes. Por eso es más práctico efectuar en cociente entre exponente e índice y operar como te he dicho al principio, pero es bueno conocer de dónde vienen las reglas y no memorizarlas sin más. Eso es esencial en Matemáticas.

Te pongo un último ejemplo con índices y exponentes mayores:  $\sqrt[18]{x^{67}*y^{102}}$

Hacemos las pertinentes divisiones:  

• 67 : 18 = 3 de cociente más 13 de residuo
• 102 : 18 = 5 de cociente más 12 de residuo

La operación sería:  $\sqrt[18]{x^{67}*y^{102}}=x^{3}y^5 \sqrt[18]{x^{13}y^{12}}$

Si tienes dudas, me las dejas aquí abajo en Comentario.

Saludos.