Question

Hola buenas noches, me gustaría saber si pueden ayudarme por favor, pondré la anterior pregunta porque la subí mal y me disculpo por eso. Alejandra dibujó en un plano cartesiano tres triángulos rectángulos, tal y como se muestra en la imagen triángulos rectángulos. Si = + 2, ¿cuáles deben ser los valores de y para que el triángulo tenga área igual a 50 unidades cuadradas?

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Answer 1

Respuesta: a=6, b=8

Explicación paso a paso:

Vamos a ver.... primeramente vamos a escribir el área del triángulo BDE en función de la distancia de segmentos... Sabemos que el área de un triángulo rectángulo es la mitad de la multiplicación de sus catetos... por tanto... para BDE tenemos

$A_{BDE}=\frac{d(E,B) d(B,D)}{2}=50$

Escribamos las distancias:

$d(E,B)=\sqrt{a^2+b^2} \text{ Sustituyendo b = a+2 tenemos:} \\d(E,B)=\sqrt{a^2+(a+2)^2}\\d(E,B)=\sqrt{a^2+a^2+4a+4}\\d(E,B)=\sqrt{2a^2+4a+4}$

Para d(B,D):

$d(B,D)=\sqrt{(a+b-a)^2+a^2} \\d(B,D)=\sqrt{(b)^2+a^2}\text{ Sustituyendo b = a+2 tenemos:}\\d(B,D)=\sqrt{(a+2)^2+a^2}\\d(B,D)=\sqrt{a^2+4a+4+a^2}\\d(B,D)=\sqrt{2a^2+4a+4}$

Luego planteamos:

$A_{BDE}=\frac{d(E,B) d(B,D)}{2}=50\\\sqrt{(2a^2+4a+4)^2}=2(50)\\2a^2+4a+4=100 \text{ dividimos ambos miembros entre 2 }\\ a^2+2a+2=50\\ a^2+2a-48=0\\(a+8)(a-6)=0\\a=-8\;\;\;a=6$

Debido a la posición de a en la figura... necesariamente a debe ser positiva, por lo tanto descartamos la solución de a=-8 y nos quedamos con:

$\boxed{\boxed{a=6}}$

Luego:

$\boxed{\boxed{b=a+2=6+2=8}}$

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Otra vía pudiera haber sido percatarnos de que los triángulos coloreados son iguales, y por tanto, BDE sería isósceles. Esto reduciría el problema un poco, al no tener necesidad de plantear una segunda distancia... ya que sabemos son iguales.

No es mucha la diferencia pero cabe resaltar la observacion....

SUERTE!!!

JaimitoM ✔

Answer 2

Las dimensiones de "a" y "b" para que el triángulo BDE tenga unidad de área 50 U² es igual a a = 6 y b = 8

La distancia entre los puntos BD será la base del triángulo BDE y la distancia entre los puntos BE será la altura, entonces las medidas son:

B(a,0), D(a + b,a) y E(0,b), donde  b = a + 2, entonces los puntos son:

• B(a,0)
• D(a + b,a)  = (a + a + 2, a) = (2a + 2, a)
• E(0,b) = (0, a + 2)

dBD = √((a - (2a + 2))² + (0 - a)² = √((-a - 2)² + (-a)²) = √(a² + a² + 4a + 4)

= √(2a² + 4a + 4 )

dBE = √(a - 0)² + (0 - (a + 2)² = √(a² + (-(a + 2))²) = √(a² +  a² + 4a + 4)

= √(2a² + 4a + 4 )

Luego el área es la base por la altura entre 2

A = √(2a² + 4a + 4 )*√(2a² + 4a + 4 )/2

A = (2a² + 4a + 4)/2 = a² + 2a + 2

Queremos que sea igual a 50

a² + 2a + 2 = 50

a² + 2a - 48 = 0

(a +8)*(a - 6)

Las posible soluciones son a = - 8 o a = 6, pero como vemos que a debe ser positivo por su ubicación en el plano entonces a = 6

b = 6 + 2 = 8

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