Question

Hola buenas noches, agradecería su ayuda en estos dos ejercicios, por favor ya lo he ententado y también le hemos preguntado a la profesora pero nada.

Ejercicio 1
Dados los siguientes vectores:
u1=(3,4,1) u2=(1,2,0) y u3=(0,2,1)
Estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores aplicando la definición de dependencia e independencia lineal.
Comprueba el resultado estudiando el rango de la matriz que formas dichos vectores.

Ejercicio 2
Estudia si el vector v1=(1,1,2) forma parte del siguiente espacio vectorial S1=(1,0,1),(2,1,1).
Nota: no olvides comprobar los valores de λ y β para ver si verifican todas las ecuaciones y poder extraer tus propias conclusiones.

Answer 1

Si tenes tres vectores u1, u2, u3 y queres que sean linealmente independientes, entonces queres que la única forma de que λu1 + βu2+ &u3 sea cero sea con λ, β y &  los tres iguales a cero

Tenes λu1 + βu2+ &u3 = 0 Donde tus incognitas son λ, β y &
Podes pasarla a forma matricial donde pones los tres vectores de forma vertical 

$\left[\begin{array}{ccc}3&1&0\\4&2&2\\1&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]$

Resolves: Intercambio la 1er y la 3er fila luego
le resto 4 veces la fila 1 a la fila 2
le resto 3 veces la fila 1 a la fila 3

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&-2\\0&1&-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]$

Intercambio fila 2 por fila 3, después
A la fila 3 le resto la fila 2

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&-3\\0&0&4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]$

Divido por 4 la 3er ecuación y después
Resto la fila 3 a la fila 1
Sumo 3 fila 3 a la fila 2
Queda

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]$

La única solución es que todas las incógnitas (λ, β y &) sean cero que es lo que queríamos ver, entonces los vectores son linealmente indep

El rango de una matriz es la cantidad de filas linealmente indep y es igual a la cantidad de columnas linealmente indep 
Entonces queres ver que el rango de esa matriz sea 3

Para que el sistema sea compatible determinado (que tenga solución única) el determinante de la matriz tiene que ser cero, podrías chequear esto en la matriz

Entonces, determinante por fila 1 es 3*(2*1-2*0)-1*(4*1-2*1)+0*(..) = 6-2=4
Distinto de cero, se que el sistema es compatible determinado y por lo tanto que el rango de la matriz es 3

No estoy segura de si sea eso lo que te piden Si queres ver directamente el rango de la matriz, podes ver que cuando está escalonada no te quedo ninguna fila de ceros entonces su rango es 3


Para el 2do ejercicio
El subesp S1 está dado por "generadores" es decir que cualquier vector que pertenezca a ese subespacio, puede escribirse como una combinación lineal de esos 2 vectores (1,0,1) y (2,1,1)
Queres ver si existen λ y β tales    (1,1,2)=λ(1,0,1) + β(2,1,1)
para que el vector v1 pertenezca al subespacio

Las incógnitas son λ y β, si armas la matriz

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&1\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1\\1\\2\end{array}\right]$

Y operas.. llegas a 

$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\0&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1\\1\\3\end{array}\right]$

La primer ecuación sería λ es -1   La 2da, β es 3, y la 3era  0λ+0β=3 es decir 0=3 lo cual es un absurdo Entonces no hay λ y β tales que v1 perteneza al subesp

Si no te piden resolver con matrices
Si resolves las ecuaciones directamente ves que también llegas a un absurdo 

(1,1,2)=λ(1,0,1) + β(2,1,1)=(λ+2β,β,λ+β) entonces β es 1 las otras 2 ec quedan λ+2β=1 y λ+β=2 es decir λ=1-2  y   λ=2-1