Question

Hola, buenas necesito ayuda con este problema de optimización, por favor.

* A las 3 P.M. un petrolero que navega hacia el Oeste, en el océano, a 15 kilometros por hora, pasa por el mismo punto que un barco de lujo que llego a ese mismo sitio a las 2 P.M. mientras navegaba hacia el Norte a 25 kilometros por hora, ¿A qué hora estuvieron lo mas cerca posible ambas embarcaciones?

De antemano, muchas gracias.

Answer 1

Sabemos que la distancia esta dada por: d=(V)(t), se usara como t la hora del dia (p.ej. 3pm -> t=3)

La distancia en cualquier momento entre los dos barcos es:

$d(t)=\sqrt{(V_{1}(t-3))^{2}+(V_{2}(t-2))^{2}} \qquad donde \quad V_{1}=15 \ , \ V_{2}=25\\ \\ d(t)=\sqrt{225(t-3)^{2}+625(t-2)^{2}}$

Para hallar la distancia minima calculamos la derivada de la funcion distancia

$\frac{d}{dt} distancia=\frac{d}{dt}\sqrt{225(t-3)^{2}+625(t-2)^{2}}=\frac{450(t-3)+1250(t-2)}{2\sqrt{225(t-3)^{2}+625(t-2)^{2}}}$

calcular el minimo:

$\frac{450(t-3)+1250(t-2)}{2\sqrt{225(t-3)^{2}+625(t-2)^{2}}}=0\\450(t-3)+1250(t-2)=0\\1700t=3850\\t=\frac{77}{34}\\t \approx 2.2647=2:15:53 \, pm$