Question

Hola buen día, alguien me podría ayudar con el siguiente problema matemático por favor.
Hallar la derivada (F’) F(x)= $\int\limits^ x^{4} _ \frac{ \pi }{2} {cost} \, dt$ y comprobar por proceso inverso. La x es la que esta elevada a la cuarta potencia.





Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos aplicar el teorema fundamental del calculo en su parte dos, esta nos indica que:

$\frac{d}{dx} [\int\limits^U_V {f(t)} \, dt] = f(u) du/dx - f(v) du/dx$

Donde U y V son funciones que dependen de la variable X, por tanto aplicaremos esta condición a la función dada:

$\frac{d}{dx}[F(x)] = d/dx [\int\limits^{x^{4}}_{\pi/2} {Cos(t)} \, dt]$

Aplicando la teoría del teorema fundamental del calculo, tenemos:

→ f'(x) = Cos(x⁴)·(x⁴)' - Cos(π/2)·(π/2)'

→ f'(x) = 4x³·Cos(x⁴) - 0

→ f'(x) = 4x³·Cos(x⁴)

Obteniendo que la primitiva es f'(x) = 4x³·Cos(x⁴).

Para la demostración inversa simplemente integramos ahora a f'(x), tenemos:

→∫f'(x) = ∫4x³·Cos(x⁴) dx

Hacemos un cambio de variable:

Diferenciamos

x⁴ = t → 4x³dx = dt

Introducimos el cambio:

F(x) = ∫Cos(t)dt

Demostrando así que la primitiva encontrada es la correcta.