Question

Hola ayuda genios, gracias.

La ecuación vectorial de la recta tendrá la forma $r(t)=t.\vec{v}+P$

en que $\vec{v}$ es el denominado vector director de la recta r, t es un número real y P es un de los pontos de r.

Supongamos que la recta que pasa por los puntos $A(2,4,5)~y~~ B(9,-2,6)$
sea r.

Cual es la ecuacion vectorial de esa recta?.
Y la ecuación de la recta s, perpenticular a r, que pasa por el punto $A(4,-5,2)$ y intercepta a recta r en un punto?

Answer 1

$(1) \texttt{ El vector director }\vec v=A-B=(2,4,5)-(9,-2,6)\\ \vec v=(-7,6,-1) \texttt{ entonces }r(t)=(2,4,5)+(-7,6,-1)t\\ \\ (2)\texttt{ Sea }C=(4,-5,2). \texttt{ Hallemos un vector }\vec w \texttt{ tal que}\\ \vec w \bot r \texttt{ que apunte al punto }C\\ \\ \vec z= \text{proy} _{\vec v}\overrightarrow{AC}= \dfrac{\vec v \cdot\overrightarrow{AC} }{|\vec v|^2}}\vec v=\dfrac{(-7,6,-1)(2,-9,-3)}{\sqrt{86}}(-7,6,-1)\\ \\ \\ \vec z = -\dfrac{65}{\sqrt{86}}(-7,6,-1)$

$\vec w \parallel \overrightarrow{AC} - \vec z = (2,-9,-3)+\dfrac{65}{\sqrt{86}}(-7,6,-1)\\ \\ \\ s(t)=(4,-5,2)+\vec w \cdot t$