Question

Hola alguien que me pueda ayudar con esta tarea de calculo integral definido.
El comportamiento de cierta máquina utilizada en la industria textil se define por la siguiente función f(t)=4√(t^3 ), en donde el tiempo está representado en meses. Los ingenieros de mantenimiento requieren conocer la longitud que representa ésta gráfica (longitud de arco) en los primeros cuatro meses [0,4] que lleva la máquina en funcionamiento. Determine la longitud de arco en el intervalo solicitado.

Answer 1

El comportamiento de cierta máquina utilizada en la industria textil se define por la función f(t), donde el tiempo se representa en meses. Los ingenieros de mantenimiento requieren conocer la longitud que representa la gráfica de la función f(t) en el intervalos [0, 4],  la cual es:

51.2 u

En la imagen se puede ver el arco en el intervalo.

Explicación:

Para conocer la longitud de arco de la gráfica de;

f(t) = 4√(t³);

Reescribir f(t);

√(t³) = $t^{3/2}$

f(t) =  $4t^{3/2}$

Aplicar integral definida y evaluar el intervalo [0, 4];

$\int\limits^4_0 {4t^{3/2} } \, dt$

Sacar la constante de la integral: ∫ax dx = a∫x dx

$4\int\limits^4_0 {t^{3/2} } \, dt$

Aplicar integral inmediata: $\int\limits {x^{r} } \, dx = \frac{x^{r+1} }{r+1}$

= 4$\frac{t^{3/2+1} }{3/2+1}$

= 4$\frac{t^{5/2} }{5/2}$

= 8/5(t^5/2)

Evaluar el intervalo [0, 4];

= 8/5[(4)^5/2] - 0

= 256/5 = 51.2 u