Question

Hola alguien que me pueda ayudar con " Como hallar el rango de esta funcíonf(x) = (X+16)/√(x-17)

Answer 1

Función
                                          $f(x)=\dfrac{x+16}{\sqrt{x-17}}$

Es fácil ver que $\text{Dom }f = (17,+\infty)$ y que en ese dominio la función es biyectiva, por eso tiene inversa. Tratemos de despejar $x$ en términos de $y=f(x)$
 
                                $y=\dfrac{x+16}{\sqrt{x-17}}\\ \\ \\ y^2=\dfrac{(x+16)^2}{x-17} \\ \\ \\ (x-17)y^2=x^2+32x+256\\ \\ \\ x^2+(32-y^2)x+(17y^2+256)=0\\ \\ \\ x=\dfrac{y^2-32\pm\sqrt{(y^2-32)^2-4(17y^2+256)}}{2}\\ \\ \\ x=\dfrac{y^2-32\pm\sqrt{y^4-132y^2}}{2}\\ \\ \\ x=\dfrac{y^2-32\pm|y|\sqrt{y^2-132}}{2}$

como $f:(17,+\infty)\subset\mathbb R\to \mathbb R$ entonces

$y^2-132=f^2(x)-132\geq 0\iff \left(f(x)-\sqrt{132}\right)\left(f(x)+\sqrt{132}\right)\geq 0\\ \\ \left(f(x)-2\sqrt{33}\right)\left(f(x)+2\sqrt{33}\right)\geq 0\\ \\ f(x)\in \left(-\infty,-2\sqrt{33}~\right]\cup[~2\sqrt{33},+\infty)\\ \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Ran }f=\left(-\infty,-2\sqrt{33}~\right]\cup[~2\sqrt{33},+\infty)$