Question

Hola, alguien puede ayudarme a resolver esta ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden con solución de transformadas de Laplace

Answer 1

En matemáticas, usamos la transformada de Laplace para convertir una función de variable real en una función de variable compleja, la transformada de Laplace tiene varias aplicaciones en matemáticas, ingeniería, etc. La transformada de Laplace también se puede usar para encontrar la solución de un problema de valor inicial de una manera muy simple ya que aquí solo aplicamos la manipulación algebraica.

También queremos usar la transformada de Laplace para encontrar la solución del siguiente problema de valor inicial (PVI):

$\boxed{x''+x=0,\quad con~x(0)=-1~y~x'(0)=8}$

Para resolver este problema de valor inicial (PIV) mediante la transformada de Laplace, lo que tenemos que hacer es aplicar la transformada de Laplace a ambas partes de la ecuación diferencial, realizando esto nostros vamos a obtener:

$\mathcal{L}\left\{x''+x\right\}=\mathcal{L}\left\{0\right\}\qquad \to\qquad \mathcal{L}\left\{x''\right\}+\mathcal{L}\left\{x\right\}=0$

Cuando vaya a ver el tema de solución de ecuaciones diferenciales por el método de la transformada de Laplace, el profesor o incluso el libro de cálculo debe mostrar la transformada de Laplace de una segunda derivada de una variable que no es la variable real "t", si por alguna razón usted libro o tu profesor no te lo dijo, se te muestra la transformada de Laplace de una primera y segunda derivada de una variable que no es t, estas transformadas son:

$\boxed{\bf\mathcal{L}\left \{x'\right\}=s\mathcal{L}\left\{x\right\}-x(0)}\boxed{\bf\mathcal{L}\left\{x''\right\}=s^2\mathcal{L}\left\{x\right \}-s x(0)-x'(0)}$

Sustituyendo el valor de la transformada de Laplace de la segunda derivada de la variable x tenemos la siguiente ecuación algebraica:

$s^2\mathcal{L}\left\{x\right \}-s x(0)-x'(0)+\mathcal{L}\left\{x\right\}=0\qquad \to\qquad s^2\mathcal{L }\left\{x\right\}- s\cdot(-1)-8+\mathcal{L}\left\{x\right\}=0\\\\\\s^2 \mathcal{L }\left\{x\right \}+s-8+\mathcal{L}\left\{x\right\}=0\qquad\to\qquad s^2 \mathcal{L }\left\{x\right\}+\mathcal{L}\left\{x\right\} =8-s\\\\\\ \mathcal{L }\left\{x\right\}\left(s^2+1\right)=8-s\qquad \to\qquad\mathcal{L }\left\{x\right\} =\dfrac{8}{s^3+1}-\dfrac{s}{s^2+1}$

Esta sería la solución de la ecuación diferencial en el dominio de Laplace para encontrar la solución de la ecuación diferencial en el dominio real lo que debemos de hacer es aplicar la transformada inversa de Laplace en ambas partes de la ecuacion, realizando esto obtenemos:

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\mathcal{L }\left\{x\right\}\right\} =\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{8}{s^2+1}-\dfrac{s}{s^2+1}\right\}\qquad\to\qquad x= 8\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2+1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^2+1}\right\}$

Si comprobamos en una tabla de transformadas de Laplace podemos comprobar que el valor de las transformadas de Laplace inversas de las expresiones que tenemos es igual a:

$\boxed{\bf \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^2+1}\right\} =cos(t)}\boxed{\bf \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^2+1}\right\} =sen(t)}$

Reemplazando todo esto tenemos que la solución de nuestra ecuación diferencial ordinaria de segundo orden es igual a:

$\boxed{\bf x=8sen(t)-cos(t)}$