Question

hola alguien me podría ayudar con esta demostración a>0; b>0; a+b=1 demostrar ab ≤1/4

Answer 1

Respuesta: VER DEMOSTRACIÓN.

Explicación paso a paso:

DEMOSTRACIÓN.

Si a + b = 1, entonces a = 1 - b.  Por tanto:

ab = b. (1 - b)  =  b - b².

Supongamos que  ab > 1/4 . De este modo b - b² > 1/4.

Por esto, b - b² - 1/4  > 0.   Al multiplicar por -1 en ambos miembros,resulta:

             ⇒ b² - b + 1/4  < 0

             ⇒ (b - 1/2)² < 0 . Esto es absurdo porque, en el conjunto de los números reales, ninguna cantidad elevada al cuadrado puede ser menor que cero.

Finalmente , como hemos llegado a un absurdo, la suposición inicial según la cual  ab > 1/4, es falsa. Y así  ab  ≤  1/4.