Question

hayar la ecuacion de la hiperbola de centro el origen, eje focal real sobre la coordenada y que pase por los puntos (4;6) y (1;_3)​

Answer 1

La ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje real vertical es

$\bold{17y^2~-~27x^2~-~180~=~0}$

¿Cuál es la ecuación canónica de la hipérbola de eje real vertical?

La ecuación canónica de una hipérbola de eje real vertical es:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~-~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}$

donde:

• (h, k)    centro de la hipérbola
• a           distancia del centro a los vértices reales
• b           distancia del centro a los vértices imaginarios

Con los puntos    (4, 6)    y    (1, -3)    construimos dos ecuaciones, por sustitución en la ecuación canónica, para hallar los valores de  a  y  b, recordando que    (h, k)  =  (0, 0).

$\bold{\dfrac{(6~-~0)^2}{a^2}~-~\dfrac{(4~-~0)^2}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \bold{\dfrac{36}{a^2}~-~\dfrac{16}{b^2}~=~1}}$

$\bold{\dfrac{(-3~-~0)^2}{a^2}~-~\dfrac{(1~-~0)^2}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \bold{\dfrac{9}{a^2}~-~\dfrac{1}{b^2}~=~1}}$

Resolvemos por el método de sustitución, despejando de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera

$\bold{\dfrac{9}{a^2}~-~\dfrac{1}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{1}{b^2}~=~\dfrac{9}{a^2}~-~1}}$

$\bold{\dfrac{36}{a^2}~-~\dfrac{16}{b^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{36}{a^2}~-~16\cdot(\dfrac{9}{a^2}~-~1)~=~1\qquad\Rightarrow}$

$\bold{-\dfrac{108}{a^2}~+~16~=~1\qquad\Rightarrow\qquad a^2~=~\dfrac{36}{5}\qquad\Rightarrow\qquad a~=~6\cdot\sqrt{~\dfrac{1}{5}}}$

$\bold{\dfrac{1}{b^2}~=~\dfrac{9}{a^2}~-~1\qquad\Rightarrow\qquad b^2~=~4\qquad\Rightarrow\qquad b~=~2}$

Ahora sustituimos en la ecuación canónica de la hipérbola

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~-~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1 \qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{(y~-~0)^2}{\dfrac{36}{5}}~-~\dfrac{(x~-~0)^2}{4}~=~1}$

La ecuación de la hipérbola de centro en el origen y eje real vertical es

$\bold{5y^2~-~9x^2~-~36~=~0}$

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