Halle vértices y las rectas directrices de la cónica 9x^2 + 16y^2 − 36x + 96y + 36 = 0
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Centro: (2,3)
Vértice 1 = (6, 3) Vértice 2 = (−2, 3)
Foco 1 = (2 + √7, 3) Foco 2 = (2 − √7, 3)
Explicación paso a paso:
Halle vértices y las rectas directrices de la cónica
9x² + 16y² − 36x + 96y + 36 = 0
1. Trasponer término independiente al otro lado de la igualdad
9x² + 16y²− 36x + 96y = - 36
2. Completar el cuadrado para x
(9x² − 36x) = 9(x – 2)²
3. Sustituir x en la ecuación
9(x – 2)² + 16y² − 36x + 96y = - 36 + 36
4. Completar el cuadrado para y
(16y² + 96y) = 16(y - 3)²
5. Sustituir en la ecuación
9x² + 16(y - 3)²− 144 = - 36
6. 9(x − 2)² + 16(y − 3)² =−36 + 36 + 144
9(x − 2)² + 16(y − 3)² = 144
7. Dividir cada término por el término independiente (144)
9(x − 2)² + 16(y − 3)² = 144
144 144 144
(x − 2)² + (y − 3)² = 1
16 9
8. Determinar los valores para buscar el centro de los ejes de la elipse
(x−h)² + (y−k)² = 1
a² b²
9. La variable a representa el radio del eje mayor de la elipse, b representa el radio del eje menor de la elipse, h representa la distancia x desde el origen y k representa la distancia y desde el origen.
a = 4 b =3 k = 3 h = 2
10. El centro de una elipse sigue la forma de (h, k) valores de h y k (2,3)
11. calcular la distancia desde el centro al foco de la elipse:
√a² − b² = √(4)² – (3)²
√16 – 9 = √7
12. Calcular los vértices
1º Vértice de una elipse sumando a y h (h + a, k)
Sustituir los valores de h, a y k (2+4,3) = (6,3)
2º Vértice de una elipse hallar sustrayendo a de h (h − a, k)
Sustituir los valores de h, a y k (2−(4),3) = (−2,3)
13. Calcular los focos
1º Foco de una elipse calcular sumando c y h (h+c, k)
Sustituir los valores de h, c y k (2+√7,3)
2º vértice de una elipse calcular restando c de h (h−c, k)
Sustituir los valores de h, c y k (2−(√7),3) = (2−√7,3)
Los vértices de la cónica 9x²+16y²-36x+96y+36=0 son (6, -3) y (-2, -3)
Ecuación de una elipse
Si el centro de la elipse es (h,k), con a>b y a²=b²+c² entonces la ecuación ordinaria de la elipse es:
- Si está situada horizontalmente (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
- Si está situada verticalmente: (x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1
Elipse con ecuación 9x²+16y²-36x+96y+36=0
Para saber las coordenadas del vértice y hallar las rectas directrices debemos completar cuadrados para tener la ecuación ordinaria de la elipse:
9x²+16y²-36x+96y+36=0
9(x²-4x)+16y²+96y-36=0
9(x-2)²-36 + 16y²+96y-36=0
9(x-2)² + 16(y²+ 6y) =0
9(x-2)² + 16[(y+3)²-9]=0
9(x-2)² + 16(y+3)²-144=0
9(x-2)² + 16(y+3)² = 144
9(x-2)²/144 + 16(y+3)²/144 = 144/144
(x-2)²/16 + (y+3)²/9 = 1
Como 16>9 entonces la elipse corresponde a elipse situada horizontalmente, cuyos datos son:
- a²=16 ⇒ a=4
- b²= 9 ⇒ b=3
- a²=b²+c² ⇒ c²=a²-b² c²=16-9 ⇒ c=√7
- Centro (h,k) ⇒ (2, -3)
- Vértices (h+a , k) y (h-a, k) ⇒ (2+4 , -3) y (2-4, -3) ⇒ (6,-3) y (-2, -3)
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