Question

Halle una parábola y = ax2 + bx + c que pase por el punto (1, 4) y cuyas rectas tangentes en x = - 1 y x = 5 tengan pendientes 6 y – 2 respectivamente.

Answer 1

$f(x)=ax^2+bx+c \\ \text{pasa por } (1,4) \ \Rightarrow \ f(1)=4 \ \Rightarrow \ a+b+c=4 \ ... \ (i) \\[8pt] f^{\prime }(x)=2ax+b$

$\text{Para }x=-1 \text{ pendiente }m_1=6 \ \Rightarrow \ m_1=f^{\prime}(-1)=6 \\ (2a)(-1)+b=6 \ \Rightarrow \ -2a+b=6 \ ... \ (ii)$

$\text{Para }x=5 \text{ pendiente }m_2=-2 \ \Rightarrow \ m_2=f^{\prime}(5)=-2 \\ (2a)(5)+b=-2 \ \Rightarrow \ 10a+b=-2 \ ... \ (iii)$

$(iii)-(ii): \\ 12a=-8 \ \Rightarrow \ a=-2/3 \\[8pt] \text{En }(ii) \\ -2(-2/3)+b=6 \ \Rightarrow \ b=14/3 \\[8pt] \text{En }(i) \\[4pt] -\dfrac{2}{3}+\dfrac{14}{3}+c=4 \\[4pt] 4+c=4 \ \Rightarrow \ c=0$

$\text{La par\'abola es }: \\[6pt] y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{14}{3}x$