Question

Halle los valores de x ( 0 ≤ x ≤ π ) que satisfacen la ecuación:

Answer 1

Respuesta:

x= 2π/3

Explicación paso a paso:

Hola! la expresión de tu problema es:

$log_{Sen(x)-Cos(x)}(Cos(2x)-Sen(2x)+7Cos(x)+5)=2$

Primero, aplicando la definición de logaritmo:   $log_{b}a=c<--->b^{c}=a$

$(Sen(x)-Cos(x))^2=Cos(2x)-Sen(2x)+7Cos(x)+5$

Ahora, resolviendo el binomio al cuadrado:

$Sen^2(x)-2Sen(x)Cos(x)+Cos^2(x)=Cos(2x)-Sen(2x)+7cos(x)+5$

Aplicando la identidad ángulo doble:  $Sen(2\theta)=2Sen(\theta)Cos(\theta)$

$Sen^2(x)-2Sen(x)Cos(x)+Cos^2(x)=Cos(2x)-2Sen(x)Cos(x)+7cos(x)+5\\\\Sen^2(x)+Cos^2(x)=Cos(2x)+7cos(x)+5$

Aplicando ahora identidad pitagórica: $Sen^2(\theta)+Cos^2(\theta)=1$

$1=Cos(2x)+7Cos(x)+5\\\\0=Cos(2x)+7Cos(x)+4\\\\Cos(2x)+7Cos(x)+4=0$

Aplicando la identidad ángulo doble:  $Cos(2\theta)=2Cos^2(\theta)-1$

$2Cos^2(x)-1+7Cos(x)+4=0\\\\2Cos^2(x)+7Cos(x)+3=0$

Nos quedo un ecuación que depende del coseno, donde tiene la forma de un trinomio cuadrado. Si prestamos atención solo a los coeficientes para poder factorizarlo, obtenemos lo siguiente:

$(2Cos(x)+1)(Cos(x)+3)=0$

*Esta factorización es equivalente a: $2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$

Ahora, aplicamos teorema del factor nulo, que es igualar cada factor con 0,  y despejar x:

$(1): 2Cos(x)+1=0\\(2): Cos(x)+3=0$

Para el factor (2), no es posible obtener valores de x que satisfagan esa ecuación, ya que Cos(x) solo varía de -1 a 1, con lo que al sumarle 3, no es posible dar 0.

Así que solo analizamos el factor (1):

$2Cos(x)+1=0\\\\Cos(x)=-\frac{1}{2}\\\\x=arcCos(-\frac{1}{2} )\\\\x=\frac{2(3n\pm 1)\pi}{3}, n\epsilon Z$

Esta sería la manera de poner todas las respuestas (ya que se trata de una ecuación trigonométrica). Pero como 0≤x≤π , el único valor que puede tomar x es:

$x=\frac{2\pi}{3}, 0\leq x\leq \pi$

Respuesta x= 2π/3

Espero haberte explicado bien, Saludos!