Question

Halle los valores de k para que la recta 3x=4y−k diste del punto p(−5 4) en 10 unidades.

Answer 1

Para que la distancia entre la recta y el punto P sea 10, los valores de k son k=81 y k=-19.

¿Cómo hallar los valores de k en la ecuación de la recta?

Si pretendemos que la recta diste 10 unidades del punto P(-5,4), podemos simplemente aplicar la expresión para la distancia entre un punto y una recta:

$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

En ella tenemos que ingresar la ecuación implícita de la recta, de la forma Ax+By+C=0, y en 'x' e 'y' reemplazar las coordenadas del punto P. La ecuación implícita de la recta en cuestión es 3x-4y+k=0.

Si reemplazamos estas expresiones en la de la distancia podemos despejar los valores de k (tienen que ser dos valores):

$10=\frac{|3(-5)-4.4+k|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\\\|-31+k|=50\\\\-31+k=50= > k=81\\-31+k=-50= > k=-19$

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