Question

halle las siguientes distancias

a. el punto (2, -1) y la recta 3x+4y=0

b. el punto (1,3) y la recta 2x-3y+1=0

c. el punto (2,5) y la recta x=4

d. entre la recta 3x-4y+4=0 y la recta 9x-12y-4=0

e. entre la recta x-2y+8=0 y la recta -2x+4y-7=0

Answer 1

Respuesta:

a) d = 0,4

b) d = 2,2188

c) d = 2,2188

d) d(r,s) = 16/15

e) d(r,s) = 9√5/10

Explicación paso a paso:

Por regla general la distancia de un punto a una recta es la distancia que hay desde el punto en forma perpendicular a la recta.

Para ello se toma la ecuación general de la recta y se aplica la fórmula siguiente:

d = |Ax + By + C|/√(A² + B²)

a) el punto (2, -1) y la recta 3x+4y=0

Punto: (2,- 1)

3x + 4y = 0

Se ordena la ecuación igualándola cero.

3x + 4y = 0

Donde:

A = 3

B = 4

C = 0

Se aplica la fórmula para el punto dado.

d = |3(2) + 4(- 1) + (0)|/√(3)² + (4)²

d = |6 - 4|/√(9 + 16)

d = |2|/√25 = 2/5 = 0,4

d = 0,4

b) el punto (1,3) y la recta 2x-3y+1=0  

Punto: (1,3)

2x - 3y + 1 = 0

Se ordena la ecuación igualándola cero

2x - 3y + 1 = 0

Donde:

A = 2

B = - 3

C = 1

Se aplica la fórmula para el punto dado.

d = |2(1) + (- 3)(3) + (1)|/√(2)² + (- 3)²

d = |2 - 9 -1|/√(4 + 9)

d = |- 8|/√13 = 8/3,6055 = 2,2188

d = 2,2188

c) el punto (2,5) y la recta x=4  

Punto: (2,5)

x = 4

Se ordena la ecuación igualándola cero

x - 4 = 0

Donde:

A = 1

B = 0

C = - 4

Se aplica la fórmula para el punto dado.

d = |1(2) + 0(5) + (- 4)|/√(1)² + (0)²

d = |2 + 0 - 4|/√(1 + 0)

d = |- 2|/√1 = 2/1 = 2

d = 2

d) entre la recta 3x-4y+4=0 y la recta 9x-12y-4=0  

Para comprobar si son paralelas se comprueba lo siguiente:

A’/A = B’/B ≠ C’/C

Comprobando el paralelaje.  

9/3 = - 12/- 4 ≠ -4/4

3 = 3 ≠ - 1

Se observa por los valores de los coeficientes que las rectas son paralelas, por lo que se puede aplicar la fórmula siguiente:

d(r,s) = |C- C’|/√(A² + B²)

Sea la recta: r = 3x – 4y +4 = 0

Donde:

A = 3

B = - 4

C = 4

Sea la recta: s = 9x – 12y - 4 = 0

Donde:

A = 3

B = - 4

C = - 4

Si r se multiplica por tres (3) se convierte en:

r = 9x - 12y + 12 = 0

Entonces:

d(r,s) = |12- (-4)|/√(9² + 12²)

d(r,s) = |12 + 4)|/√(81 + 144) = |16|/√225 = 16/15

d(r,s) = 16/15 = 1,0666666666666666666666666666667

e. entre la recta x-2y+8=0 y la recta -2x+4y-7=0

Sea la recta: r = x – 2y + 8 = 0

Donde:

A = 1

B = - 2

C = 8

Sea la recta: s = - 2x + 4y - 7 = 0

Donde:

A = - 2

B = 4

C = - 7

Comprobando el paralelaje.  

-2/1 = 4/- 2 ≠ - 7/8

-2 = -2 ≠ - 7/8

Se observa por los valores de los coeficientes que las rectas son paralelas, por lo que se puede aplicar la fórmula siguiente:

d(r,s) = |C- C’|/√(A² + B²)

Sea la recta: r = x – 2y + 8 = 0

Si s se divide entre (- 2) se convierte en:

s = x – 2y + 7/2 = 0

Entonces:

d(r,s) = |8- (7/2)|/√(1)² + (- 2)²

d(r,s) = |9/2)|/√(1 + 4) = (9/2)/√5

Se aplica radicación para eliminar la raíz del denominador.

(9/2)/ √5 x (√5)/(√5)

(9/2) x √5/(√5)² = (9/2)(√5)/5 = 9√5/10

d(r,s) = 9√5/10 = 2,0124611797498107267682563018581

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