Question

Halle las medidas del cono con mayor volumen de entre todos los que tienen generatriz igual a 9 cm.

Answer 1

Veamos. El volumen de un cono de altura h y radio r es:

V = 1/3 π r² h

Por otro lado la generatriz, en función de la altura y el radio es.

g² = h² - r²

Luego r² = g² - h² = 81 - h²

Reemplazamos en V; V = 1/3 π (81 - h²) h = 1/3 π (81 h - h³)

Una función es máxima en los puntos en que su derivada es nula y su segunda derivada negativa.

V' = 1/3 π (81 + 3 h²) = π (27 - h²)

V'' = - 2 π h, negativa para h positivo (máximo)

V' = 0 = π (27 - h²); implica h = √27 = 5,20 cm

r² = 81 - h² = 81 - 27 = 54; r = √54 = 7,35 cm

El volumen máximo es V = 1/3 π . 7,35² . 5,20 = 294

Se adjunta un gráfico del volumen en función de la altura.

Saludos Herminio