Question

Halle la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyas directrices son las rectas, x = 1 y x = 9 y uno de sus focos es F(7,0). Explicación paso a paso porfa
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Answer 1

La ecuación general de la elipse dada es:

5x²  +  9y²  -  50x  +  80  =  0

y su excentricidad es 2/3.

Explicación paso a paso:

La directriz es una recta perpendicular al eje mayor de la elipse y que dista de cualquier punto sobre la elipse una distancia similar a la de ese punto al foco correspondiente. De aquí que la directriz se encuentra a igual distancia del vértice, sobre el eje mayor, que la distancia que separa al foco del vértice.

En el caso que nos ocupa, hay dos directrices,   x  =  1    x  =  9,    ambas rectas verticales, por lo que podemos deducir que el eje mayor de la elipse es una recta horizontal.

Uno de los focos es el punto  (7, 0) y pertenece a la recta horizontal    y  =  0;    es decir, el eje de las  x.  Este foco está del lado de la directriz    x  =  9,    y dista de ella en  2  unidades, por lo que el vértice debe estar a    1   unidad de cada uno; es decir, el vértice es el punto    (8, 0).

El centro de la elipse debe ser el punto central del segmento entre las directrices. Este segmento mide  8  unidades sobre el eje x (la diferencia entre 9 y 1); por lo que el punto medio y centro de la elipse es  (5, 0).

Entonces la distancia centro vértice mayor (a) es 3 (la distancia entre 5 y 8) y la distancia centro foco (c) es 2 (la diferencia entre 5 y 7). De aquí podemos obtener la distancia centro vértice menor (b), de acuerdo con la expresión:

a²  =  b²  +  c²        ⇒       b²  =  a²  -  c²        ⇒        

b²  =  (3)²  -  (2)²  =  9  -  4  =  5

Ahora sustituimos en la ecuación canónica de la elipse de eje horizontal y centro (h, k):

$\bold{\dfrac{(x~-~h)^2}{a^2}~+~\dfrac{(y~-~k)^2}{b^2}~=~1}$

En nuestro caso:  (h, k)  =  (5, 0)          a²  =  9               b²  =  5

$\bold{\dfrac{(x~-~5)^2}{9}~+~\dfrac{(y~-~0)^2}{5}~=~1}$

Desarrollando se obtiene la ecuación general de la elipse:

5x²  +  9y²  -  50x  +  80  =  0

La excentricidad se define como la razón entre c y a:

e  =  c/a  =  2/3  =  0.6667

La excentricidad de la elipse dada es 2/3.

Answer 2

Respuesta:

• Excentricidad=1/$\sqrt{2}$
• Ecuación de la elipse = 2y^2+x^2-10x+17=0
• a=$\sqrt{8}$ ; b=2 ; c=2 ; Centro=(5,0)
• V1=(3,0) ; V2=(7,0)

Posdata: el burro de arriba esta mal ya que dijo que la distancia del foco al vértice debería ser la misma que del vértice a la directriz, lo cual esta mal, aunque su procedimiento lo vi bien

ESTUDIEN BURROS.... Messi>Penaldo