Question

Halle el valor medio de la función f(x)=〖2x〗^2-2x+2 en el intervalo [0,8].

Answer 1

Sabemos que el valor promedio de una función en un intervalo [a, b] es igual a:


$f prom = \frac{1}{b-a}\int _a^bf\:\left(x\right)dx$


Aplicandolo en la  función dada por el problema:


$\frac{1}{8-0}\int _0^8\left(2x^2-2x+2\right)dx$


Resolvemos la integral:


Aplicamos la regla de la suma:


$\int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$


$=\int \:2x^2dx-\int \:2xdx+\int \:2dx$


$=\frac{2x^3}{3}-x^2+2x + C$


Calculamos los límites:

$\int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)$


$\lim _{x\to \:0+}\left(\frac{2x^3}{3}-x^2+2x\right+C)=0$


$\lim _{x\to \:8-}\left(\frac{2x^3}{3}-x^2+2x\right+C)=\frac{880}{3}$


$=\frac{880}{3}-0=\frac{880}{3}$


$=\frac{1}{8-0}\cdot \frac{880}{3}$


$=\frac{110}{3}$



El valor promedio es igual a $=\frac{110}{3}$