Halle el mínimo valor de:
M = √5Senx + √11Cosx
Respuestas a la pregunta
El valor mínimo de la función M = √5Senx + √11Cosx es -4, de acuerdo con los criterios de primera y segunda derivada para valores extremos.
¿Cómo se determina el mínimo de una función?
Se desea conocer el valor de x para que la función M sea mínima.
La función objetivo es:
M = √5 Senx + √11 Cosx
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función:
M' = [√5 Senx + √11 Cosx]' ⇒
M' = √5 Cosx - √11 Senx
M' = 0 ⇒ √5 Cosx - √11 Senx = 0 ⇒
Senx / Cosx = √5 / √11 ⇒ Tanx = √5 / √11 ⇒
x = ArcTan (√5 / √11) = 107π / 90 radianes
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un mínimo, segunda derivada positiva.
M'' = [√5 Cosx - √11 Senx]' = -√5 Senx - √11 Cosx
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
M''(107π / 90) = -√5 Sen(107π / 90) - √11 Cos(107π / 90) > 0 ⇒
x = 107π / 90 es un mínimo de la función
M(107π / 90) = √5 Sen(107π / 90) + √11 Cos(107π / 90) = -4
El valor mínimo de la función M = √5Senx + √11Cosx es -4, de acuerdo con los criterios de primera y segunda derivada para valores extremos.
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