Question

. Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de y+x^2=6 y y+2x-3=0 Considere las fórmulas del centroide de la región en el plano:

Answer 1

Respuesta:

Tenemos las regiones:

Y = 6-x²

Y = 3-2x

Sabemos que las coordenadas del centroide vienen dadas por:

Qy= x'A = ∫x'elemental dA

Qx = y'A = ∫y'elemental dA

X' = 1/A ∫x(3-2x - (6-x²)) dx  

Y' = 1/2A ∫(3-2x)² - (6-x²)² dx

Resolviendo las integrales:

X' = 1/A ∫x(3-2x) - (6-x²)) dx  

X' = 1/A ( x²(3x²-4x-36)/12)

Y' = 1/2A ∫(3-2x)² - (6-x²)² dx

Y' = - 1/2A ( x(3x⁴-80x²+90x+405)/15)

Ahora encontramos el área:

A = ∫ (3-2x)-(6-x²) dx // Evaluado desde cero a 1

Resolviendo y evaluando los límites tenemos:

A = -11/3

Una vez tenemos vamos a evaluar en las integrales:

X' = -3/11 ( x²(3x²-4x-36)/12)   / evaluado 0-1  

Y' = 3/22 ( x(3x⁴-80x²+90x+405)/15)  / evaluado 0-1

X' = -0.84

Y' = 3.8

De modo que el punto del centroide es:

Q= (-0.84,3.8)