Question

halle el área mínima de la región sombreada cuando el punto P se desplaza sobre la circunferencia trigonométrica en el II cuadrante

Answer 1

sea S el área que nos piden hallar

$\mathrm{S=A_{1}-A_{2}}$

$\mathrm{S=\dfrac{|sec\alpha||csc\alpha |}{2}-\dfrac{\pi}{4}}$

$\mathrm{S=\dfrac{\dfrac{1}{|cos\alpha|} \dfrac{1}{|sen\alpha|}}{2}-\dfrac{\pi}{4}}$

$\mathrm{S=\dfrac{1}{2|cos\alpha||sen\alpha|}-\dfrac{\pi}{4}}$

recordemos que   $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

entonces

$\mathrm{|cos\alpha|^{2} +|sen\alpha|^{2}\geq 2|cos\alpha||sen\alpha|}$

$\mathrm{1\geq 2|cos\alpha||sen\alpha|}$

elevamos a la -1

$\mathrm{1\leq \dfrac{1}{2|cos\alpha||sen\alpha|} }$

$\mathrm{\dfrac{1}{2|cos\alpha||sen\alpha|}-\dfrac{\pi}{4} \geq 1-\dfrac{\pi}{4} }$

$\mathrm{S\geq \dfrac{4-\pi }{4}}$

el área mínima será $\mathrm{\dfrac{4-\pi }{4}}$

AUTOR: SmithValdez