Question

Halle el área del rectángulo más grande que puede inscribirse en un semicírculo de radio r

Answer 1

La base del rectángulo se apoya sobre el diámetro del semicírculo.

Longitud de la base, x, mitad para cada lado.

La altura es y, con un vértice apoyado sobre el semicírculo

La superficie es S = x y.

Por otro lado es (x/2)² + y² = r²

Despejamos y: y = √[r² - (x/2)²] = 1/2 √(4 r² - x²)

S = 1/2 x √(4 r² - x²)

Una función es máxima (o mínima) en los puntos en que su primera derivada se anula

Derivamos S respecto de x, teniendo en cuenta que hay un producto

S' = 1/2 √(4 r² - x²) + 1 / [2 √(4 r² - x²)] (- 2 x)

Desarrollamos esta expresión:

S' = (2 r² - x²) /√(4 r² - x²)

Igualamos a cero (solamente el numerador)

2 r² - x² = 0; o sea x = r √2

Para este valor de x:

y = 1/2 √[4 r² - (r √2)²] = r √2/2

El valor máximo de S es:

S = x y = r √2 . r √2/2 = r²

Si hacemos r = 2:

S = 4

Se adjunta dibujo de la función S con su punto máximo.

Mateo

Answer 2

El Área del rectángulo más grande que puede inscribirse en un semicírculo de radio r es el valor del radio elevado al cuadrado.

Explicación paso a paso:

El gráfico anexo muestra el rectángulo inscrito en el semicírculo de centro  (0, 0).

La función objetivo es el área (A) del rectángulo:  

A  =  2xy

Lo conveniente es que el área este expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la ecuación de la circunferencia (ecuación auxiliar) para despejar    y     en función de   x:

$\bold{x^2~+~y^2~=~r^2\qquad\Rightarrow\qquad y~=~\sqrt{r^2~-~x^2}}$

por tanto la función objetivo es

$\bold{A~=~2x\sqrt{r^2~-~x^2}}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.

$\bold{A’~=~2\sqrt{r^2~-~x^2}~+~2x(\dfrac{-x}{\sqrt{r^2~-~x^2}})~=~\dfrac{2r^2~-~4x^2}{\sqrt{r^2~-~x^2}}}$

$\bold{A'~=~0\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{2r^2~-~4x^2}{\sqrt{r^2~-~x^2}}~=~0\qquad\Rightarrow}$

$\bold{2r^2~-~4x^2~=~0\qquad\Rightarrow\qquad x~=~\pm\dfrac{r}{\sqrt{2}}}$

Ya que    x    es una longitud, interesa solo el valor positivo. Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$\bold{A''~=~\dfrac{-8x\sqrt{r^2~-~x^2}~-~(2r^2~-~4x^2)(\dfrac{-x}{\sqrt{r^2~-~x^2}}}{r^2~-~x^2}}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$\bold{A''_{(\frac{r}{\sqrt{2}})}~<~0\qquad\Rightarrow}$

$\bold{x~=~\dfrac{r}{\sqrt{2}}}$             es un máximo de la función A.

Luego,

$\bold{y~=~\sqrt{r^2~-~(\dfrac{r}{\sqrt{2}})^2}~=~\dfrac{r}{\sqrt{2}}}$

Por último, el área será:

$\bold{A~=~2(\dfrac{r}{\sqrt{2}})(\dfrac{r}{\sqrt{2}})~=~r^2}$

El Área del rectángulo más grande que puede inscribirse en un semicírculo de radio r es el valor del radio elevado al cuadrado.

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