Question

Hallar "x":
${2}^{ ({x}^{2} - 4x + 4)} = {3}^{ ({x}^{2} - 8x + 12)}$
Necesito el procedimiento y fundamento con la respuesta. Los que respondan en vano seran reportados. ​

Answer 1

Hola :D

Tema: Logaritmos

${2}^{( {x}^{2} - 4x + 4)} = {3}^{( {x}^{2} - 8x + 12) }$

Primero: aplicamos logaritmo en base $2$, así podemos eliminar la base $2$.

Para ello también debemos recurrir a la tercera propiedad de los logaritmos, la cual nos dice que:

$\boxed{ log_{a}( {x}^{n} ) = n log_{a}(x) }$

Entonces, sólo debemos bajar el exponente.

Prosiguiendo:

$( {x}^{2} - 4x + 4)( log_{2}(2) ) = ( {x}^{2} - 8x + 12)( log_{2}(3) )$

Recuerda que la definición de logaritmo es la siguiente:

$log_{a}({a}^{n} ) =n$

La base se eleva a la n, dándonos ${a}^{n}$,

En sí, el resultado es el exponente.

Veamos el ejemplo con $log_{2}(2)$

¿$2$ elevado a qué número me da $2$?

Ése número sería $1$, y ése $1$ se sustituye en la expresión original, quedando:

${x}^{2} - 4x + 4 = ( {x}^{2} - 8x + 12) log_{2}(3)$

Lo siguiente que podemos hacer es factorizar los trinomios:

${x}^{2} - 4x + 4 \rightarrow \textrm{producto \: notable} \\ {(x -2 )}^{2}$

${x}^{2} - 8x + 12$

$2$ números que sumados me den $-8$ y multiplicados me de $12$:

$(x - 2)(x - 6)$

Sustituyendo en la expresión original:

${(x - 2)}^{2} = (x - 2)(x - 6) log_{2}(3)$

Pasamos todo lo del lado derecho al izquierdo (cambio de signo):

$(x - 2)^{2} - (x - 2)(x - 6) log_{2}(3) = 0$

Vemos un factor común: $(x-2)$, lo usamos:

$(x - 2)[x - 2 - ( x - 6) log_{2}(3) ] = 0$

Entonces, tendremos $2$ factores, los cuales son las soluciones:

$x - 2 \\ x - 2 - (x - 6) log_{2}(3)$

Igualando a $0$ ambos:

$x_{1} - 2 = 0 \rightarrow \: \boxed{x_{1} = 2 }$

$x - 2 - (x - 6) log_{2}(3) = 0$

Aquí aplicamos propiedad distributiva:

$(x - 6) log_{2}(3) = x log_{2}(3) - 6 log_{2}(3)$

Volviendo:

$x - 2 - (x log_{2}(3) - 6 log_{2}(3) ) = 0 \\ x - 2 - x log_{2}(3) + 6 log_{2}(3) = 0$

Dejamos las variables del lado izquierdo y las constantes las pasamos al derecho:

$x - x log_{2}(3) = 2 - 6 log_{2}(3)$

Encontramos factor común: $x$:

$x(1 - log_{2}(3)) = 2 - 6 log_{2}(3)$

Despejamos $x$:

$x = \frac{2 - 6 log_{2}(3) }{1 - log_{2}(3) }$

Ésta puede ser la respuesta, claro está, para los flojos.

En cambio, podemos simplificar más:

El $2$ lo podemos expresar $log_{2}({2}^{2})$.

Y el $1$ como $log_{2}(2)$.

También podemos hacer Regresión de propiedades.

¿Que quiere decir? Que aplicamos al revés las propiedades, en este caso hablo de la primera que mencioné:

$log_{a}( {x}^{n} ) = n log_{a}(x) \rightarrow \: n log_{a}(x) = log_{a}( {x}^{n} )$

Eso lo hacemos en:

$-6log_{2}(3)$, el $-6$ ahora pasa a ser el exponente de $3$: $log_{2}({3}^{-6})$.

Y también en:

$-log_{2}(3)$, el $-1$ ahora pasa a ser el exponentes de $3$: $log_{2}({3}^{-1})$.

Continuando:

$x = \dfrac{ log_{2}( {2}^{2} ) + log_{2}( {3}^{ - 6} ) }{ log_{2}(2) + log_{2}( {3}^{ - 1} ) }$

Ahora aplicamos la primera propiedad de los logaritmos, la cual nos dice que:

$\: \boxed{log_{x}(A)+log_{x}(B)=log_{x}(AB)}$

Aplicando tanto a numerador como denominador:

$x = \dfrac{ log_{2}( {2}^{2} \times {3}^{ - 6} ) }{ log_{2}(2 \times {3}^{ - 1} ) }$

$x = \dfrac{ log_{2}( \frac{ {2}^{2} }{ {3}^{6} } ) }{ log_{2}( \frac{2}{3} ) }$

Ahora usamos Cambio de Base, recordando que es de la forma:

$\dfrac{ log_{b}(x) }{ log_{b}(a) } = log_{a}(x)$

Entonces, identificamos a las variables, en nuestro caso:

$a = \frac{2}{3} \\ x = \frac{ {2}^{2} }{ {3}^{6} }$

Sustituyendo:

$log_{ \frac{2}{3} }( \frac{ {2}^{2} }{ {3}^{6} } )$

Aquí podemos ver un factor común:

$log_{2}( (\frac{2}{ {3}^{3} }) ^{2} ) \rightarrow \: 2 log_{2}( \frac{2}{27} )$

Entonces, la segunda solución es:

$\boxed{ x_{2} = 2log_{ \frac{2}{3} }( \frac{2}{7} ) }$

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!!!!

Moderador Grupo ⭕✌️✍️