hallar tres numeros positivos cuya suma sea 12 y la.suma de sus cuadrados sea minima
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
los tres numeros son 4 ,4 y 4
Explicación paso a paso:
sea a ,b y c los numeros
la suma de tres numeros es 12
a + b + c = 12 ................(1)
la suma de sus cuadrados sea minima
a² + b² + c² = minima .............(2)
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despejamos c en (1)
c = 12- a - b
reemplazamos en (2)
a² + b² + (12- a - b)²
a² + b² + 144 + a²+ b² - 24a -24b + 2ab
2a² + 2b² - 24a - 24b +2ab + 144
derivamos respecto a a
4a -24 +2b = 0
4a + 2b = 24
2a + b = 12
derivamos respecto a b
4b - 24 + 2a = 0
4b+2a = 24
2b + a = 12
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resolvemos el sistema de ecuaciones
sumamos ambas ecuaciones
2a + b = 12
2b + a = 12
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3a + 3b = 24
3(a + b) = 24
a + b= 24/3
a + b = 8
reemplazamos en cualquiera de ellos
2a + b = 12
a+ a + b = 12
a + 8 = 12
a = 4
entonces
b = 4
reemplazamos en (1)
a + b + c = 12
4 +4 + c = 12
c = 4
Respuesta:
Los 3 números son 4,4 y 4
Explicación paso a paso:
Con multiplicadores de Lagrange (Tema de calculo en varias variables) :
f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2
g(x,y,z)= x+y+z-12
sabemos que con:
∇f = λ∇g
encontramos los valores de x, y, z que minimizan o maximizan la función g.
Ademas ∇f = (df/dx , df/dy , df/dz) se llama gradiente de f y df/dx entiéndase como derivada parcial que es el proceso de derivar con respecto a x manteniendo lo demas como una constante
Las ecuaciones son de la forma:
df/dx = λ (dg/dx)
entonces: 1) 2x = λ
2) 2y = λ
3) 2z = λ
y adicional utilizamos la ecuación: 4) x+y+z= 12
es asi que con las cuatro incognitas ( que son x, y, z, λ) y las 4 ecuaciones tenemos que:
x=y y=z entonces x=z
reemplazando en 4) nos queda:
3x=12 RTA: x=4