Question

Hallar tres numeros en progresion aritmetica cuya suma sea 48 y la correspondiente a sus cuadrados 800

Answer 1

Entonces tenemos algo así:
Por si no conoces la fórmula de progresión aritmética es ésta: 
$a_{n}=a_{1}+(n-1)d \\ \\Apliquemos: \\ a_{1}= a_{1} \\ a_{2}=a_{1}+d \\ a_{3}=a_{1}+2d \\ Suma: \\ a_{1}+a_{2}+a_{3}=48 \\ a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=48 \\ 3a_{1}+3d=48 \\ a_{1}+d=16 \\ pero \\ a_{1}+d=a_{2}=16$ de aquí despejemos 
$a_{1}+d=16 \\ a_{1}=16-d$ 

ahora apliquemos la segunda condición que nos dice...y reemplacemos lo que ya conocemos

$(a_{1})^{2} +(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2} =800 \\ (a_{1})^{2} +(a_{1}+d)^{2}+(a_{1}+2d)^{2} =800 \\ (a_{1})^{2} + (16)^{2}+(16-d+2d)^{2} =800 \\ (a_{1}) ^{2}+256+(16+d) ^{2}=800 \\ (16-d) ^{2} +(16+d) ^{2}=544 \\ 256-32d+ d^{2}+256+32d+ d^{2}=544 \\ 2 d^{2} +512=544 \\ 2 d^{2} =32 \\ d^{2}=16 \\ d_{1} =+4 \\ d_{2} =-4$
como sabrás la raíz siempre tiene una parte negativa y la otra positiva, entonces se debe tener cuidado y ver cual de los dos es que que necesitamos...pero si te das cuenta, o no sé me da lo mismo como que la d=4 o d=-4 puesto que como verás...$a_{1}= a_{1} \\ a_{2}= a_{1}+d=16 \\ 16= a_{1}+4 \\ a_{1}=12 \\ ademas \\ a_{3}= a_{1}+2d=12+2(4)=20 \\ Entonces \\ a_{1}=12 \\ a_{2}=16 \\ a_{3}=20 \\ sumemos:48$ y nos da...pero si usamos el -4 nos va a dar al revés la sucesión, es decir primero 20, luego 16, y luego 12 y la suma es 48 entonces nos sirve cualquiera de las dos..espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas

Answer 2

sea c la constante de la sucesión es decir el valor absoluto de la diferencia entre dos términos sucesivos:
Sea x el primero de los 3 números:
(x)+ (x+c) + (x+2c) = 48
(x)² + (x+c)² + (x+2c)² = 800

x+x+c+x+2c = 48
3x+ 3c = 48
x+c= 16
c=16-x
x² + (x + 16 - x)² + (x+ 2(16-x))² = 800
x² + 16² + (32 - x)² = 800
x² + 256 +  1024 - 64x + x² = 800
2x² -64x + 480 = 0
x² - 32x + 240= 0

(x-12)(x-20)=0
x-12=0
x=12

x-20=0
x=20

Entonces:
x+c=16                             x+c = 16
20 + c= 16                       12+c=16  
c= -4                                 c= 4
 
Entonces los números:     
20
20-4= 16
20-8= 12

12,16 y 20 


12
12+4= 16
12+8= 20

12,16 y 20