Question

hallar todos los números reales tales que la distancia entre el doble de su inverso y raíz de 5 es igual a 3/2
lo necesito para mañana pliss

Answer 1

Los números reales tales que la distancia entre el doble de su inverso y raíz de 5 es igual a 3/2 son :   x = 4*(-3 +2√5 )/11 ; x = 4*( 3+2√5)/11

 Para determinar los números reales que cumplen que la distancia entre el doble de su inverso y raíz de 5 es igual a 3/2, se plantea y resuelve una ecuación de valor absoluto, de la siguiente manera :

                I 2*1/x -√5 I = 3/2

  2/x -√5 = 3/2       y        2/x -√5 = - 3/2

     2/x -√5 = 3/2

     4/x -2√5 = 3

     4/x = 3+2√5

    x= 4/(3+2√5)* (3-2√5)/(3-2√5)

    x = 4*(3-2√5)/( 3² -(2√5)²)

    x = 4*(3-2√5)/(9-20)

    x = 4*(3-2√5)/(-11)

   x = 4*(-3 +2√5 )/11

   2/x -√5 = - 3/2

     4/x -2√5 = -3

     4/x = -3+2√5

    x= 4/(-3+2√5)* (-3-2√5)/(-3-2√5)

    x = 4*(-3 -2√5)/( (-3)² -(2√5)²)

    x = 4*(-3-2√5)/(9-20)

    x = 4*(-3-2√5)/(-11)

   x = 4*( 3+2√5)/11

Answer 2

Los dos números reales que satisfacen que la distancia entre el doble de su inverso y raíz de 5 es igual a 3/2 son: $\dfrac{4\left(2\sqrt{5}+3\right)}{11}$  y $\dfrac{4\left(2\sqrt{5}-3\right)}{11}$.

Antes de comenzar debemos conocer que la distancia (d) entre dos números (a y b) en la recta real está dada por:

$d = |a - b|$

Sabemos del problema que la distancia entre el doble de su inverso y raíz de 5 es igual a 3/2, por tanto:

$\left|\dfrac{2}{x}-\sqrt{5}\right|=\dfrac{3}{2}$

Aplicando las propiedades de los valores absolutos sabemos que la igualdad se cumple para:

$\dfrac{2}{x}-\sqrt{5}=-\dfrac{3}{2}\quad \mathrm{y}\quad \dfrac{2}{x}-\sqrt{5}=\dfrac{3}{2}$

Primera ecuación

Resolvemos la primera ecuación:

$\dfrac{2}{x}-\sqrt{5}=-\dfrac{3}{2}$

Multiplicamos por 2x para eliminar denominador:

$4-2\sqrt{5}x=-3x$

$-2\sqrt{5}x+3x=-4$

$\left(-2\sqrt{5}+3\right)x=-4$

$x = \dfrac{-4}{-2\sqrt{5}+3}$

Racionalizamos para eliminar la raíz del denominador:

$x=\dfrac{-4}{-2\sqrt{5}+3}\cdot \dfrac{-2\sqrt{5}-3}{-2\sqrt{5}-3}$

$x = \dfrac{4\left(2\sqrt{5}+3\right)}{11}$

Segunda ecuación

$\dfrac{2}{x}-\sqrt{5}=\dfrac{3}{2}$

Multiplicamos por 2x para eliminar denominador:

$4-2\sqrt{5}x=3x$

$-2\sqrt{5}x-3x=-4$

$\left(-2\sqrt{5}-3\right)x=-4$

$x = \dfrac{-4}{-2\sqrt{5}-3}$

Racionalizamos para eliminar la raíz del denominador:

$x=\dfrac{-4}{-2\sqrt{5}-3}\cdot \dfrac{-2\sqrt{5}+3}{-2\sqrt{5}+3}$

$x =\dfrac{4\left(2\sqrt{5}-3\right)}{11}$

Conclusiones:

Los dos números reales que satisfacen que la distancia entre el doble de su inverso y raíz de 5 es igual a 3/2 son: $\dfrac{4\left(2\sqrt{5}+3\right)}{11}$  y $\dfrac{4\left(2\sqrt{5}-3\right)}{11}$.

Una representación gráfica del problema se adjunta en la imagen.