Question

Hallar las siguientes parábolas:
Foco (0,15) y directriz y=-15
Foco (-7, 0) y directriz y=7
Foco (2,0) y directriz x=-2
foco (0,-9) y directriz y=9
ayuda

Answer 1

Vamos a aplicar las ecuaciones canónicas siguientes:

Parábola de eje horizontal:         (y  -  k)²  =  ±4p(x  -  h)

Parábola de eje vertical:          (x  -  h)²  =  ±4p(y  -  k)

donde  

(h, k) son las coordenadas del vértice.

p        es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.

a)  Foco es el punto      F (0, 15)     y la directriz es          y  =  -15

Dado que la directriz es una recta horizontal     y  =  -15,      y el foco se encuentra en el punto (0, 15) podemos calcular la distancia    p    como la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.

En este caso, la distancia entre el foco y la directriz es de   30    unidades, desde   y  =  -15   hasta    y  =  15,    por lo que      p  =  15.

Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada    y    aquella que corresponda al desplazamiento una distancia    p    desde el foco hacia abajo y coordenada    x    igual a la del foco.

Parábola de eje vertical con:         h = 0       k = 0       p = 15

Ecuación:         (x  -  0)²  =  4(15)(y  -  0)       ⇒       x²  =  60y

b)  Foco es el punto      F (-7, 0)     y la directriz es          y  =  7

Dado que la directriz es una recta horizontal     y  =  7,      y el foco se encuentra en el punto (-7, 0) podemos calcular la distancia    p    como la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.

En este caso, la distancia entre el foco y la directriz es de   7    unidades, desde   y  =  0   hasta    y  =  7,    por lo que      p  =  7/2.

Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada    y    aquella que corresponda al desplazamiento una distancia    p    desde el foco hacia arriba y coordenada    x    igual a la del foco.

Parábola de eje vertical con:         h = -7       k = 7/2       p = 7/2

Ecuación:         (x  -  (-7))²  =  -4(7/2)(y  -  7/2)       ⇒      (x  +  7)²  =  49  -  14y

c)  Foco es el punto      F (2, 0)     y la directriz es          x  =  -2

Dado que la directriz es una recta vertical     x  =  -2,      y el foco se encuentra en el punto (2, 0) podemos calcular la distancia    p    como la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.

En este caso, la distancia entre el foco y la directriz es de   4    unidades, desde   x  =  -2   hasta    x  =  2,    por lo que      p  =  2.

Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada    x    aquella que corresponda al desplazamiento una distancia    p    desde el foco hacia la izquierda y coordenada    y    igual a la del foco.

Parábola de eje horizontal con:         h = 0       k = 0       p = 2

Ecuación:         (y  -  0)²  =  4(2)(x  -  0)       ⇒       y²  =  8x

d)  Foco es el punto      F (0, -9)     y la directriz es          y  =  9

Dado que la directriz es una recta horizontal     y  =  9,      y el foco se encuentra en el punto (0, -9) podemos calcular la distancia    p    como la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.

En este caso, la distancia entre el foco y la directriz es de   18    unidades, desde   y  =  -9   hasta    y  =  9,    por lo que      p  =  9.

Por lo tanto, el vértice será un punto de coordenada    y    aquella que corresponda al desplazamiento una distancia    p    desde el foco hacia arriba y coordenada    x    igual a la del foco.

Parábola de eje vertical con:         h = 0       k = 0       p = 9

Ecuación:         (x  -  0)²  =  -4(9)(y  -  0)       ⇒       x²  =  -36y