Question

Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesiana del plano que pasa por el punto A(1,1,1) y tiene como vectores directores a u ⃗(1,-1,1) y v ⃗(2,3,-1).

Answer 1

Las ecuaciones paramétricas y cartesiana del plano son:

• x = 1 + λ + 2μ
• y = 1 - λ + 3μ
• z =  1 + λ - μ

-2x + 3y + 5z - 6 = 0

Partir de la ecuación vectorial del plano:

PA = (x - 1, y - 1, z - 1)

PA = λ u + μ v

sustituir;

PA  = λ(1, -1, 1) + μ(2, 3, -1)

(x - 1, y - 1, z - 1) = λ(1, -1, 1) + μ(2, 3, -1)

(x, y, z) - (1, 1, 1) = λ(1, -1, 1) + μ(2, 3, -1)

(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, -1, 1) + μ(2, 3, -1)

(x, y, z) = (1 + λ + 2μ, 1 - λ + 3μ, 1 + λ - μ)

Ecuación  parametrica:

x = 1 + λ + 2μ

y = 1 - λ + 3μ

z =  1 + λ - μ

Aplicar determinante:

$\left[\begin{array}{ccc}x-1&1&2\\y-1&-1&3\\z-1&1&-1\end{array}\right]= 0$

(x - 1) [(-1)(-1) -(1)(3)] - (1)[(y - 1)(-1)-(z-1)(3)] + 2[(y -1)(1)-(z-1)(-1)] = 0

(x - 1) [1 - 3] - [(1 - y) - (3z - 3)] + 2[(y - 1) - (1 - z)] = 0

-2x + 2 - [4 - y - 3z] + 2[y - 2 + z] = 0

-2x + 2 - 4 + y + 3z + 2y - 4 + 2z = 0

Ecuación cartesiana del plano:

-2x + 3y + 5z - 6 = 0