Question

Hallar las ecuaciones de las elipses, dadas las siguientes condiciones: Su centro es el punto C(4,2), un foco en F_1 (4,7) y un vértice en V_1 (4,-5).

Answer 1

La ecuación de la elipse dadas las condiciones:

49x²  + 24y²- 392x + 96y - 296 = 0

Datos:

Centro: c(4, 2)

Foco: f1(4, 7)

Vértice: v1(4, -5)

Con los datos que se tienen, se puede decir que, el semi-eje focal es la distancia del centro al foco, y el semi-eje vertical es la distancia del centro al vértice.

semi-eje focal:

c = 7 - 2

c = 5

semi-eje vertical:

b = -5 - 2

b = -7

El valor de b por pitagoras:

b² = a² + c²

Podemos despejar a:

a = √(b² - c²)

a = √(49-25)

a = √24

La ecuación de la elipse con un eje vertical se define como:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2} }+\frac{(y-k)^{2} }{b^{2} }  =1$

Sustituyo los valores de  a y b, siendo h y k las coordenadas del centro de la elipse;

$\frac{(x-4)^{2}}{24 }+\frac{(y-2)^{2} }{49 }  =1$

Desarrollamos los binomios del cuadrado:

(x-4)² = x² - 8x + 16

(y-2)² = y² + 4y + 4

sustituimos;

$\frac{(x^{2} - 8x + 16)}{24 }+\frac{(y^{2} + 4y + 4 }{49 }  =1$

Para buscar una ecuación general, multiplicamos ambos lados por el común denominador (1176);

(1176)$\frac{(x^{2} - 8x + 16)}{24 }+\frac{(y^{2} + 4y + 4 }{49 }  =1$ (1176)

49(x² - 8x + 16) + 24(y² + 4y + 4) = 1176

49x² - 392x + 784 + 24y² + 96y + 96 = 1176

49x² - 392x + 24y² + 96y  = 1176 - 880

49x² - 392x + 24y² + 96y  = 296

49x²  + 24y²- 392x + 96y - 296 = 0

Puedes ver un ejercicio similar, https://brainly.lat/tarea/7889364.