Question

Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 de volumen, que tenga superficie mínima.

Answer 1

Las dimensiones del depósito abierto, cuya forma es un prisma rectangular de base caudrada serán:

• x = $\sqrt[3]{100}$ que representa el lado de la base cuadrada

• y =   $\frac{50}{\sqrt[3]{10000} }$ un lado de las tapas rectángulares

Derivada, ejercicios de optimización: cálculo de la superficie de un prisma

En primer observamos la función a optimizar, es decir, a la que debemos calcular el mínimo, por tanto debemos expresar las dimensiones de área del prisma

• área del cuadrado = x²
• área de las tapas o caras = 4xy

• S = x² + 4xy  

Esta es la función superficie. Donde "x" representa el lado del cuadrado que forma la base y la "y" la altura.

Como tenemos dos incógnitas usaremos el valor que se nos da en el enunciado del volumen para despejar una incógnita y sustituirla en la función superficie. Aí tenemos que volumen es igual

50= x²y

Por lo que despejando "y" tenemos

$y = \frac{50}{x^{2} }$

ahora podemos sustituir "y" en la función que proporciona la superficie y se obtiene:

S = x² + 4xy  

S = x² + 4x($\frac{50}{x^{2} }$)

S = x² + $\frac{200x}{x^{2} }$

S = x² + $\frac{200}{x}$

Procedemos a hacer la derivada, calculamos  e igualamos a 0  y determinamos x

S(x) =  x² + $\frac{200}{x}$

S'(x) = x² + $\frac{200}{x}$  = 0

Derivamos

S'(x) = x² + $\frac{200}{x}$

S'(x) = 2x - $\frac{200}{x^{2} }$

0 = 2x - $\frac{200}{x^{2} }$

$\frac{200}{x^{2} }$ = 2x

200 = 2x(x²)

200 = 2x³

100 = x³

x = $\sqrt[3]{100}$

Sustituimos en "y"

50 = x²y

50 = (   $\sqrt[3]{100}$ )² (y)

50 = $\sqrt[3]{100^{2} }$ (y)

y =   $\frac{50}{\sqrt[3]{10000} }$

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