Question

Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. 9x^2+4y^2=36

Answer 1

Para identificar el tipo de cónica dada una ecuación general, se puede realizar por el método: 1) Discriminante que se maneja en la ecuación general para los trinomios  B² - 4 AC

B² - 4AC  es igual a cero = 0  es una parábola.
B² - 4AC es negativo < 0 es una elipse.
B2 - 4AC es positiva > 0 es una hipérbola.

La ecuación general para las conicas es:
 
                         AX² + BXY + CY² + DX + EY + F = 0 
Comparemos esta ecuación con la que nos plantea el problema

                         9x² + 4y² = 36   
                          A       C          no tiene B
Sustituyamos los valores en el discriminante:

B² - 4 AC
0   - 4 (9) (4) =   Aplicamos la ley de los signos
       - 36 (4) = - 144 Nuestro valor obtenido es negativo, por lo tanto, la ecuación 9x² + 4y² = 36, se trata de una ELIPSE

Es  una elipse con centro en el origen, su fórmula ordinaria o canónica es:
Elipse horizontal                 Elipse Vertical
     x²  +  y²  = 1                    x²  +   y²   = 1   
     a²      b²                           b²       a²

Resolver la cuestion:

El resultado lo tengo que igualar a 1, en este caso es 36, lo cual dividirá a cada uno de los términos al otro lado de la igualdad
                 9x²   +    4y²   =  36  
                 36          36        36

              9x²    +    4y²    = 1
              36           36
Los coeficientes 9 y 4  los pasamos como denominadores, con el propósito de tener solo las letras (x y) para igualarlo a la fórmula:

        x²     +     y²     = 1 
        36           36 
         9             4    
Simplificamos las fracciones para obtener nuestros valores.
36 ÷ 9 = 4
36 ÷ 4 = 9
La ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen, queda de la siguiente forma:

                 x²    +    y²   = 1
                4             9
   Como el numero mayor esta en el vértice Y ,  se trata de una elipse vertical con centro en el origen, por lo tanto  a esta en el vértice Y

a² = 9 Despejamos el exponente, pasa al otro lado de la igualdad como raíz cuadrada:
a² = 9 ⇒ a = √9 ⇒ 3 ⇒  a = 3
b² = 4 ⇒ b = √4 ⇒ 2 ⇒ b = 2
c² = a² - b² ⇒ 3² - 2² ⇒ 9 - 4 = 5
c² = 5 ⇒ c = √5 = 2.23 ⇒ c = 2.23

Vértices:
Vértice del eje mayor:
V₁ (0, a)  V₂ (0, - a)
V₁ (0, 3)  V₂ (0, - 3)

Extremos del eje menor
B₁ (b, 0)  B₂ (-b, 0)
B₁ (2, 0)  B₂ (-2, 0)

Focos
F₁ (0, c)        F₂ (0, -c)
F₁ (0, 2.23)    F₂ (0, - 2.23) Si manejas radicales quedarian así :
F₁ (0, √5)       F₂ (0, - √5)
         
Longitud del eje mayor  2(a) ⇒ 2(3) = 6 unidades.
Longitud del eje menor   2(b) ⇒ 2(2) = 4 unidades.
Longitud del eje focal     2(c) ⇒ 2(2.23) = 4.46 Unidades. 
  o con radicales                   ⇒ 2(√5) = 4.46 Unidades

Excentricidad   e =   c   =  2.23  o con radicales ⇒       √5      
                               a         3                                       3

Longitud de los lados rectos

LR =   2b²   ⇒    2(2)²   ⇒   2(4)   =   8  
           a              3              3         3

8/3 = 2.66  cada lado recto de la elipse abrira 1.33