Question

Hallar las coordenadas de los puntos sobre la curva f(x)=x^2-3x+1 en los que la tangente forma con el eje x un ángulo de 45°

Answer 1

Las rectas tangentes a la función propuesta en (2,-1) y (1,-1) forman ángulos de 45° con el eje x, estas son y-x+3=0 y x+y=0.

Explicación:

La pendiente de la recta tangente a toda función en un punto es la derivada de esta función. Y para que una recta forme con el eje x un ángulo de 45°, tenemos que lograr:

$tan(45\°)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=1$

Una recta con esta pendiente forma con el eje x un ángulo de 45° hacia la derecha, también puede formar un ángulo de 45° hacia la izquierda, para lo cual forma con el eje horizontal positivo un ángulo de 135°:

$tan(135\°)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=-1$

Ahora bien, en el punto de tangencia tenemos:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$

La derivada de la función es entonces:

$\frac{df(x)}{dx}=2x-3$

Ahora tenemos que hallar los puntos donde esta derivada vale 1 y -1:

$2x-3=1\\x=2\\\\2x-3=-1\\x=1$

Los cuales, si se reemplazan en la función dan los puntos (2,-1) y (1,-1). Y las rectas son:

$y+1=1(x-2)=>y-x+3=0\\y+1=-1(x-1)=> y+x=0$

En la imagen adjunta se ve la función con las dos rectas tangentes halladas.