Question

Hallar las condiciones que deben cumplir los parámetros reales a, b y c (a es diferente a c) para que p(x) y q(x) tengan dos raíces comunes y resuelve en ese caso las ecuaciones p(x)=0, q(x) =0

Answer 1

$P(x)-Q(x)=(a-c)x(x^2-1)\\ \\ P(x)-Q(x)=(a-c)x(x-1)(x+1)\\ \\ \text{El 0 no puede ser ra\'iz ya que }P(0)=Q(0)\neq 0\text{ entonces las dos ra\'ices}\\\text{son:}\\ \\ (r_1,r_2)=(-1,1)\\ \\ \text{As\'i:}\\ \\ P(x)=(x^2-1)(x^2+px-1)\\ P(x)=x^4+px^3-2x^2-px+1\\ \\ Q(x)=(x^2-1)(x^2+qx-1)\\ P(x)=x^4+qx^3-2x^2-qx+1\\ \\ p=-q\neq 0\\ \\ \text{Como } p,q\in \mathbb{R}, \Delta_P =p^2+4\ \textgreater \ 0,\Delta_Q\ \textgreater \ 0$

$\text{Las ra\'ices de }P \text{ son:}\\ \\ \left\{-1,1,\dfrac{p+\sqrt{p^2+4}}{2},\dfrac{p-\sqrt{p^2+4}}{2}\right\}\\ \\ \\ \text{y las ra\'ices de }Q:\\ \\ \left\{-1,1,\dfrac{q+\sqrt{q^2+4}}{2},\dfrac{q-\sqrt{q^2+4}}{2}\right\}$