Question

Hallar la Tangente, normal y curvatura delas siguientes funciones para cualquier t
$r(t) = 3ti + 2tj$
$r(t) = 2ti + \frac{1}{2}t^{2} + t^{2}k$
$r(t) = 2ti + 5costj + 5sentk$

Answer 1

Utilizaremos las fórmulas

Tangente: $T(t)=r'(t)$ (no confundir con la tangente unitaria, en este caso utilizo notaciones aisladas)

Normal: $N(t)=[r'(t)\times r''(t)]\times r'(t)$

Curvatura: $\chi(t)=\dfrac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}$

----------------------------------------------------x--------------------------------------------------

(1) $r(t)=(3t,2t)\\ \\ \bullet\textbf{Tangente: }r'(t)=(3,2)\\ \\ \bullet\textbf{Normal: }N(t)=(-2,3)\\ \\ \bullet\textbf{Curvatura: }\text{Una recta no tiene curvatura }\chi(t)=0$

(2) $r(t)=(2t,\frac{t^2}{2},t^2)\\ \\ \bullet\textbf{Tangente: }r'(t)=(2,t,2t)\\ \\ \bullet\textbf{Normal: }N(t)=[(2,t,2t)\times(0,1,2)]\times(2,t,2t)=(0,-4,2)\times(2,t,2t)\\ \\ N(t)=(-10t,4,8)\\ \\ \bullet\textbf{Curvatura: }\chi(t)=\dfrac{\|(2,t,2t)\times(0,1,2)\|}{\|(2,t,2t)\|^3}\\ \\ \chi(t)=\dfrac{\|(0,-4,2)\|}{\sqrt{4+5t^2}^3}\\ \\ \\ \chi(t)=\dfrac{2\sqrt{5}}{(4+5t^2)\sqrt{4+5t^2}}$

(3) tarea :)