Question

Hallar la suma de los números impares del 51 al 813

Answer 1

Todo número impar se encuentra en una progresión aritmética. Ejemplo:

$5;\ 7;\ 9;\ 11;\ ...$

Cada valor se suma en dos al anterior.

$5;\ 5+2;\ 5+2+2;\ 5+2+2+2;\ ...$

Ahora vamos a mostrar la siguiente progresión.

$51;\ 53;\ 55;\ 57;\ 59; ...;\ 813$

Nos piden la suma de todos estos términos, pero lo volveré a escribir de esta forma.

$51;\ 51+2;\ (51+2)+2;\ (51+2+2)+2;\ (51+2+2+2)+2; ...$

Cada término, suma al anterior en dos.

entonces para calcular el término ene-ésimo podemos hacer lo siguiente.

$51;\ 51+r;\ 51+2r;\ 51+3r;\ 51+4r; ...;\ 51+(n-1)r \\ \\ t_{n}=51+(n-1)r \\ \\ r=2$

Quiero saber cual es el lugar, del término 813.

$813=51+(n-1)r \\ \\ 762=2(n-1) \\ \\ 381=n-1 \\ \\ n=382$

Entonces el término de lugar 382, será 813.

813 es el último término, entonces la progresión tiene 382 términos.

Ahora vamos a sumar todos.

$51 + (51+r) + (51+2r)+(51+3r)+...+(51+(n-1)r) \\ \\ 51 + (51+r) + (51+2r)+(51+3r)+...+(51+(382-1)r) \\ \\ 51 + (51+r) + (51+2r)+(51+3r)+...+(51+381r) \\ \\ 51+51+51+...+51+r+2r+3r+4r+...+381r \\ \\ 51\ \cdot\ 382\ +\ r(1+2+3+4+...+381) \\ \\ 51\ \cdot\ 382\ +\ 2(1+2+3+4+5+...+381) \\ \\ 19482+2 \dfrac{(381)(381+1)}{2} \\ \\ \\ 19482+381(382) \\ \\ 19482+145542 \\ \\ 165024$

RESPUESTA $\boxed{165024}$

Answer 2

Respuesta:

$Sn = 165024$

Explicación paso a paso:

$An = A1 +(n-1) d$

$813 = 51 +(n-1)^{2}$

$813 - 51 = (n-1)^{2}$

$762 = (n-1)^{2}$

$n-1 = \frac{762}{2}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$n = 382$

$Sn = (A1 +An)\frac{n}{2}$

$Sn = ( 51 + 813).\frac{382}{2}$

$Sn = 165024$